Xét các số thực \(x\), \(y\) thỏa mãn \({3^{{x^2} + {y^2} + 1}} \le \left( {2{x^2} + 2{y^2} – 4x + 3} \right){.9^x}\). Biết giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{3x – 4y}}{{2x + y + 1}}\) bằng \(a\sqrt {113} + b\) với \(a,b \in \mathbb{Q}\). Khi đó \(3a – b\) bằng

A. \(3\).

B. \(2\).

C. \(0\).

D. \( – 1\).

Lời giải:

Ta có \({3^{{x^2} + {y^2} + 1}} \le \left( {2{x^2} + 2{y^2} – 4x + 3} \right){.9^x}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{3^{{x^2} + {y^2} + 1}}}}{{{9^x}}} \le 2{x^2} + 2{y^2} – 4x + 3\)

\( \Leftrightarrow {3^{{x^2} + {y^2} – 2x + 1}} \le 2{x^2} + 2{y^2} – 4x + 3\)\( \Leftrightarrow {3^{{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2}}} \le 2\left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2}} \right] + 1{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Đặt \(u = {\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2},u \ge 0\). Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {3^u} \le 2u + 1 \Leftrightarrow {3^u} – 2u – 1 \le 0\,{\rm{ }}\left( 2 \right)\).

Xét \(f\left( u \right) = {3^u} – 2u – 1\) có \(f’\left( u \right) = {3^u}.\ln 3 – 2 \Rightarrow f’\left( u \right) = 0 \Leftrightarrow u = {\log _3}\frac{2}{{\ln 3}}\).

Bảng biến thiên

Mà \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow f\left( u \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le u \le 1\)\( \Rightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} \le 1\).

Khi đó tập hợp điểm \(M\left( {x;y} \right)\) là hình tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {1;0} \right)\), bán kính \(R = 1\).

Ta có \(P = \frac{{3x – 4y}}{{2x + y + 1}} \Leftrightarrow \left( {2x + y + 1} \right)P = 3x – 4y \Leftrightarrow \left( {2P – 3} \right)x + \left( {P + 4} \right)y + P = 0\).

Khi đó tập hợp điểm \(M\left( {x;y} \right)\) là đường thẳng \(\left( d \right):\left( {2P – 3} \right)x + \left( {P + 4} \right)y + P = 0\).

Do vậy \(\left( d \right)\) và \(\left( C \right)\) có điểm chung khi và chỉ khi

\(d\left( {I;\left( d \right)} \right) \le 1 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2P – 3 + P} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2P – 3} \right)}^2} + {{\left( {P + 4} \right)}^2}} }} \le 1\)

\( \Leftrightarrow 3\left| {P – 1} \right| \le \sqrt {5{P^2} – 4P + 25} \)

\( \Leftrightarrow 9{\left( {P – 1} \right)^2} \le 5{P^2} – 4P + 25\)

\( \Leftrightarrow 4{P^2} – 14P – 16 \le 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{7 – \sqrt {113} }}{4} \le P \le \frac{{7 + \sqrt {113} }}{4}\).

Do đó \(\max P = \frac{{7 + \sqrt {113} }}{4} = \frac{1}{4}\sqrt {113} + \frac{7}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{4}\\b = \frac{7}{4}\end{array} \right. \Rightarrow 3a – b = – 1\).