Biết \(x,y\)là các số thực thoả mãn \({10^{2x – {y^2} + 3}} \ge {a^{2x – \log a}}\) với mọi số thực \(a > 0\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 3x + 4y – 3\) bằng

Biết \(x,y\)là các số thực thoả mãn \({10^{2x – {y^2} + 3}} \ge {a^{2x – \log a}}\) với mọi số thực \(a > 0\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 3x + 4y – 3\) bằng

A. \(13\).

B. \(10\).

C. \(8\).

D. \(25\).

Lời giải:

Ta có:

\({10^{2x – {y^2} + 3}} \ge {a^{2x – \log a}} \Leftrightarrow 2x – {y^2} + 3 \ge \left( {2x – \log a} \right)\log a \Leftrightarrow {\log ^2}a – 2x\log a + 2x + 3 – {y^2} \ge 0\).

Đặt \(t = \log a\) ta được bất phương trình \({t^2} – 2xt + 2x + 3 – {y^2} \ge 0\)

Để bất phương trình đúng với mọi số thực \(a > 0\) thì điều kiện là \(\Delta ‘ \le 0 \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 3 + {y^2} \le 0 \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} \le 4\).

Khi đó \(P = 3x + 4y – 3 = 3\left( {x – 1} \right) + 4y \Rightarrow {P^2} \le \left[ {{3^2} + {4^2}} \right]\left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2}} \right] \le 25.4 \Rightarrow P \le 10.\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{11}}{5}\\y = \frac{8}{5}\end{array} \right.\).

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024