Cho \(2\) số thực \(x,y\) thỏa mãn \({\log _5}{\left[ {(x + 1)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 25 – \left( {x – 1} \right)\left( {y + 1} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + 3y\) là

Cho \(2\) số thực \(x,y\) thỏa mãn \({\log _5}{\left[ {(x + 1)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 25 – \left( {x – 1} \right)\left( {y + 1} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + 3y\) là

A. \({P_{\min }} = 10\sqrt 3 – 4\).

B. \({P_{\min }} = 9\sqrt 3 + 4\).

C. \({P_{\min }} = – \sqrt 3 – 4\).

D. \({P_{\min }} = 10\sqrt 3 \)

Lời giải:

Lời giải:

Ta có: \({\log _5}{\left[ {(x + 1)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 25 – \left( {x – 1} \right)\left( {y + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow (y + 1){\log _5}[(x + 1)(y + 1)] + (x – 1)(y + 1) = 25\)

\( \Leftrightarrow (y + 1)[{\log _5}(x + 1)(y – 1) + x – 1] = 25\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}(x + 1)(y – 1) + x – 1 = \frac{{25}}{{y + 1}}\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}(x + 1) + {\log _5}(y – 1) + x – 1 = \frac{{25}}{{y + 1}}\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}(x + 1) + x – 1 = \frac{{25}}{{y + 1}} – {\log _5}(y + 1)\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}(x + 1) + x + 1 – 2 = \frac{{25}}{{y + 1}} + 2 – {\log _5}(y + 1) – 2\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}(x + 1) + (x + 1) – 2 = \frac{{25}}{{y + 1}} + {\log _5}\frac{{25}}{{y + 1}} – 2\)(*).

Xét hàm số \(f(t) = {\log _5}t + t – 2\) với \(t > 0\) có \({f^’}(t) = \frac{1}{{t\ln 5}} + 1 > 0\) với mọi \(t > 0\) nên hàm số \(f(t)\) luôn đồng biến và liên tục trên \((0; + \infty )\).

Từ (*) suy ra: \(x + 1 = \frac{{25}}{{y + 1}} \Rightarrow x = \frac{{24 – y}}{{y + 1}}\). Do \(x > 0\) nên \(y \in (0;24)\).

Vậy \(P = x + 3y = \frac{{24 – y}}{{y + 1}} + 3y = \frac{{25}}{{y + 1}} + 3y – 1 = \frac{{25}}{{y + 1}} + 3(y + 1) – 4 \ge 10\sqrt 3 – 4\).

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024