Cho hai số thực \(x,y\) không âm thỏa mãn \({x^2} + 2x – y + 1 = {\log _2}\frac{{\sqrt {2y + 1} }}{{x + 1}}\). Khi biếu thức \(P = {e^{2x – 1}} + 4{x^2} – 2y + 1\)đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(2y – x\) bằng

A. \(3\).

B. \(2\).

C. \( – 3\).

D. \( – 2\).

Lời giải:

\({x^2} + 2x – y + 1 = {\log _2}\frac{{\sqrt {2y + 1} }}{{x + 1}}\) \( \Leftrightarrow 2{\left( {x + 1} \right)^2} + {\log _2}\left( {2{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right) = {\log _2}\left( {2y + 1} \right) + \left( {2y + 1} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + {\log _2}t\,\,\,\,,\left( {t > 0} \right)\); \(f’\left( t \right) = 1 + \frac{1}{{t.\ln 2}} > 0,\forall t > 0\)

Suy ra \(2{\left( {x + 1} \right)^2} = 2y + 1\) \( \Rightarrow 2y = 2{\left( {x + 1} \right)^2} – 1\).

\(P = {e^{2x – 1}} + 4{x^2} – 2y + 1\) \( = {e^{2x – 1}} + 4{x^2} – 2{\left( {x + 1} \right)^2} + 1 + 1\) \( = {e^{2x – 1}} + 2{x^2} – 4x = g\left( x \right)\).

\(g’\left( x \right) = 2{e^{2x – 1}} + 4x – 4\) là hàm số đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\) nên \(g’\left( x \right) = 0\) có tối đa \(1\) nghiệm, nhẩm được nghiệm \(x = \frac{1}{2}\) nên nghiệm đó là duy nhất.

Vậy \(\min \,P = – \frac{1}{2}\) tại \(x = \frac{1}{2};\,y = \frac{7}{4}\). Do đó giá trị của \(2y – x = 3\).