Xét các số thực dương \(x\), \(y\) thỏa mãn \({\log _5}{\left[ {\left( {x + 3} \right)y} \right]^y} = 125 – xy\). Khi biểu thức \(x + 5y\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(5x – y\) bằng

Xét các số thực dương \(x\), \(y\) thỏa mãn \({\log _5}{\left[ {\left( {x + 3} \right)y} \right]^y} = 125 – xy\). Khi biểu thức \(x + 5y\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(5x – y\) bằng

A. \(115\).

B. \(110\).

C. \(105\).

D. \(120\).

Lời giải:

Ta có: \({\log _5}{\left[ {\left( {x + 3} \right).y} \right]^y} = 125 – xy\)

\( \Leftrightarrow y.{\log _5}\left[ {\left( {x + 3} \right).y} \right] = 125 – \left[ {\left( {x + 3} \right) – 3} \right].y\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}\left[ {\left( {x + 3} \right).y} \right] = \frac{{125}}{y} – (x + 3) + 3\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {x + 3} \right) + {\log _5}y = \frac{{125}}{y} – \left( {x + 3} \right) + 3\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {x + 3} \right) + \left( {x + 3} \right) = \frac{{125}}{y} – {\log _5}y + {\log _5}125\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {x + 3} \right) + \left( {x + 3} \right) = {\log _5}\left( {\frac{{125}}{y}} \right) + \frac{{125}}{y}\,\,\,(1)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _5}t + t\)

Ta có: \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 5}} + 1 > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Suy ra \(f\left( t \right) = {\log _5}t + t\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó \(\left( 1 \right)\) \( \Leftrightarrow x + 3 = \frac{{125}}{y}\) \( \Leftrightarrow x = \frac{{125}}{y} – 3\)

Nên \(P = x + 5y = \frac{{125}}{y} – 3 + 5y = \frac{{125}}{y} + 5y – 3 \ge 2\sqrt {\frac{{125}}{y} \cdot 5y} – 3 = 47,\forall y > 0\).

\(\min P = 47\) khi \(\frac{{125}}{y} = 5y \Leftrightarrow y = 5 \Rightarrow x = 22\)

Vậy \(5x – y = 5.22 – 5 = 105\).

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024