Có bao nhiêu số nguyên \(m \in \left( { – 5;5} \right)\) để bất phương trình sau \({\log _3}\frac{{2{x^2} – x + 1}}{{4{x^2} – x + 4 – 2m}} < – 2\left( {{x^2} – x + m} \right)\) có nghiệm?

A. \(4\).

B. \(3\).

C. \(2\).

D. \(5\).

Lời giải:

Chọn D

Với điều kiện \(4{x^2} – x + 4 – 2m > 0\) (Do \(2{x^2} – x + 1 > 0,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)), ta có

\({\log _3}\frac{{2{x^2} – x + 1}}{{4{x^2} – x + 4 – 2m}} < – 2{x^2} + 2x – 2m\,\,\,\,\left( * \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2{x^2} – x + 1} \right) – {\log _3}\left( {4{x^2} – x + 4 – 2m} \right) < – 2{x^2} + 2x – 2m\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {6{x^2} – 3x + 3} \right) + 6{x^2} – 3x + 3 < {\log _3}\left( {4{x^2} – x + 4 – 2m} \right) + 4{x^2} – x + 4 – 2m & \left( 1 \right)\)

Xét hàm \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\) với \(t > 0\), ta có \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0,\,\,\,\forall t > 0\).

Suy ra hàm \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 6{x^2} – 3x + 3 < 4{x^2} – x + 4 – 2m \Leftrightarrow 2m < – 2{x^2} + 2x + 1\).

Xét hàm \(g\left( x \right) = – 2{x^2} + 2x + 1 \Rightarrow g’\left( x \right) = – 4x + 2\). Cho \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow – 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy để bất phương trình (*) có nghiệm thì \(2m < \frac{3}{2} \Leftrightarrow m < \frac{3}{4}\).

Vì \(m \in \left( { – 5;5} \right)\) và \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = \left\{ { – 4; – 3; – 2; – 1;0} \right\}\).

Thử lại với điều kiện \(4{x^2} – x + 4 – m > 0\) ta thấy \(m = \left\{ { – 4; – 3; – 2; – 1;0} \right\}\)đều thỏa mãn.

Vậy có \(5\) số nguyên \(m \in \left( { – 5;5} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.