Cho phương trình \({2^{\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 1} \right)}}.\ln \left[ {2\left( {x + 2} \right)x + 3} \right] = {2^{y + {x^2} + x + 1}}.\ln \sqrt {{x^2} + y + 1} \) (1) với \(y \ge 0\). Khi \(2{x^2} – y\) đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của biểu thức \(S = y – x\) bằng
A. \(16\).
B. \(14\).
C. \(10\).\(\)
D. \(12\).
Lời giải:
(1)\( \Leftrightarrow {2^{2{x^2} + 5x + 2}}.\ln \left( {2{x^2} + 4x + 3} \right) = {2^{y + {x^2} + x}}.\ln \left( {{x^2} + y + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow {2^{2{x^2} + 5x + 2}}.\ln \left( {2{x^2} + 4x + 3} \right) = {2^{y + {x^2}}}{.2^x}.\ln \left( {{x^2} + y + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow {2^{2{x^2} + 4x + 2}}.\ln \left( {2{x^2} + 4x + 3} \right) = {2^{y + {x^2}}}.\ln \left( {{x^2} + y + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow {2^{2{x^2} + 4x + 3}}.\ln \left( {2{x^2} + 4x + 3} \right) = {2^{y + {x^2} + 1}}.\ln \left( {{x^2} + y + 1} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 4x + 3 = 2{\left( {x + 1} \right)^2} + 1 \ge 1,\,\forall x\\{x^2} + y + 1 \ge 1,\,\forall x \in \mathbb{R},\,y \ge 0\end{array} \right.\).
Xét \(f\left( t \right) = {2^t}.\ln t\) trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f’\left( t \right) = {2^t}.\ln t.\ln 2 + \frac{{{2^t}}}{t} > 0,\,\forall t \ge 1\).
\( \Rightarrow \)Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\).
Mà \(f\left( {2{x^2} + 4x + 3} \right) = f\left( {{x^2} + y + 1} \right)\)
\( \Rightarrow 2{x^2} + 4x + 3 = {x^2} + y + 1\)
\( \Rightarrow y = {x^2} + 4x + 2\)
\( \Rightarrow 2{x^2} – y = {x^2} – 4x – 2 = {(x – 2)^2} – 6 \ge – 6\)
\( \Rightarrow {\left( {2{x^2} – y} \right)_{\min }} = – 6\) khi \(x = 2\) \( \Rightarrow y = 14\).
\( \Rightarrow S = 12\).
===========
Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024
Để lại phản hồi