Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \({\log _3}\frac{{2x + y + 1}}{{x + y}} = x + 2y.\)Khi biểu thức \(T = \frac{1}{x} + \frac{2}{{\sqrt y }}\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(S = x – 2y\) bằng

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \({\log _3}\frac{{2x + y + 1}}{{x + y}} = x + 2y.\)Khi biểu thức \(T = \frac{1}{x} + \frac{2}{{\sqrt y }}\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(S = x – 2y\) bằng

A. \(3 + \sqrt 3 .\)

B. \(2\)

C. \(3 + 2\sqrt 3 .\)

D. \(0\)

Lời giải:

Ta có: \({\log _3}\frac{{2x + y + 1}}{{x + y}} = x + 2y \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x + y + 1} \right) – {\log _3}\left( {x + y} \right) = 3\left( {x + y} \right) – \left( {2x + y + 1} \right) + 1\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2x + y + 1} \right) + 2x + y + 1 = {\log _3}\left( {3\left( {x + y} \right)} \right) + 3\left( {x + y} \right)\left( * \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Mà \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {2x + y + 1} \right) = f\left( {3x + 3y} \right) \Leftrightarrow 2x + y + 1 = 3x + 3y \Leftrightarrow x + 2y = 1\)

Đặt \(a = \sqrt y > 0 \Leftrightarrow y = {a^2} \Leftrightarrow x = 1 – 2y = 1 – 2{a^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < a < \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Khi đó \(T = g\left( a \right) = \frac{1}{{1 – 2{a^2}}} + \frac{2}{a}\)

Xét hàm số \(g\left( a \right) = \frac{1}{{1 – 2{a^2}}} + \frac{2}{a}\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\) có \(g’\left( a \right) = – \frac{{2\left( {2a – 1} \right)\left( {2{a^3} – 2a – 1} \right)}}{{{a^2}{{\left( {2{a^2} – 1} \right)}^2}}}\)

Xét \(h\left( a \right) = 2{a^3} – 2a – 1\) trên \(\left( {0;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\)có

\(h’\left( a \right) = 6{a^2} – 2 = 2\left( {3{a^2} – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow a = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow h’\left( a \right) < 0\forall a \in \left( { – \frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \supset \left( {0;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\)

Do đó \(h\left( a \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\)

\( \Rightarrow h\left( a \right) < h\left( 0 \right) = – 1 < 0\forall a \in \left( {0;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\) nên phương trình \(h\left( a \right) = 0\) vô nghiệm trên \(\left( {0;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\)

Phương trình \(g’\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}.\) Tính các giá trị \(g\left( {\frac{1}{2}} \right) = 6;\mathop {\lim }\limits_{a \to 0} g\left( a \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{a \to \frac{1}{{\sqrt 2 }}} g\left( a \right) = + \infty \)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {0;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)} g\left( a \right) = g\left( {\frac{1}{2}} \right) = 6\)

Giá trị nhỏ nhất cần tìm T_min = 6 nên \(a = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{4};x = \frac{1}{2}.\)

Vậy \(S = x – 2y = \frac{1}{2} – 2.\frac{1}{4} = 0.\)

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024