A. \(\sqrt 7 \).
B. \(1 + \sqrt 7 \).
C. \(2\sqrt 7 \).
D. \(2 + \sqrt 7 \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(A,B,C\) lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức \(z,\,\,w,\,\,z + w\).
Theo giả thiết \(\left| z \right| = \left| w \right| = \left| {z + w} \right| = 1\)\( \Rightarrow OACB\) là hình thoi và \(OA = OB = OC = 1\) \( \Rightarrow (\overrightarrow {OA\,} \,,\,\overrightarrow {OB} \,) = {120^o}\).
Gọi D là điểm biểu diễn cho số phức \(u = \left( {1 + \sqrt 3 i} \right)w\). Khi đó \(\left| u \right| = \left| {\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)w} \right| = 2.1 = 2\) \( \Rightarrow (\overrightarrow {OB\,} ,\overrightarrow {OD} \,) = {60^o}\). Do đó D là ảnh của B qua phép đồng dạng được thực hiện liên tiếp với hai phép: phép quay tâm O góc quay \({60^o}\) và phép vị tự tâm O tỉ số 2.
Theo bất đẳng thức modun, ta có:\(\left| {z + (1 + \sqrt 3 i)w + \sqrt 3 – 2i} \right| \le \left| {z + (1 + \sqrt 3 i)w} \right| + \left| {\sqrt 3 – 2i} \right|\)
Xét hai trường hợp:
TH1: Góc lượng giác giữa \((OA\,,OB) = {120^o}\). Với A là điểm bất kỳ trên \(\left( {O;1} \right)\), ta có:
Khi đó: \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OD} \) là hai vectơ ngược hướng.
\( \Rightarrow \left| {z + (1 + \sqrt 3 i)w} \right|\)=\(\left| {\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OA} } \right| = 1\).
\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left| {z + (1 + \sqrt 3 i)w + \sqrt 3 – 2i} \right| \le 1 + \sqrt 7 \).
TH2: Góc lượng giác giữa \((OA,OB) = – {120^o}\). Với A là điểm bất kỳ trên \(\left( {O;1} \right)\), ta có:
Khi đó: Tia \(OD\) là phân giác của \(\widehat {AOB}\).
\( \Rightarrow \left| {z + (1 + \sqrt 3 i)w} \right|\)=\(\left| {\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OA} } \right| = \sqrt {O{A^2} + O{D^2} – 2OA.OD.\cos {\rm{12}}{{\rm{0}}^o}} = \sqrt 7 \).
\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left| {z + (1 + \sqrt 3 i)w + \sqrt 3 – 2i} \right| \le \sqrt 7 + \sqrt 7 \)
\( \Leftrightarrow \left| {z + (1 + \sqrt 3 i)w + \sqrt 3 – 2i} \right| \le 2\sqrt 7 \)
Dấu bằng xảy ra khi \(\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OA} \)cùng hướng với véc tơ \(\overrightarrow v (\sqrt 3 ;\, – 2)\)
So sánh hai trường hợp, giá trị lớn nhất của \(\left| {z + (1 + \sqrt 3 i)w + \sqrt 3 – 2i} \right|\) bằng \(2\sqrt 7 \).
=======
Trả lời