Xét các số phức \(z,w \) thỏa mãn \(\left| z \right| = \left| w \right| = 1 \).Khi \(\left| {z – 2w – 3 – 4i} \right| \) đạt giá trị lớn nhất thì \(\left| {z – w} \right| \) bằng

Câu hỏi:
Xét các số phức \(z,w \) thỏa mãn \(\left| z \right| = \left| w \right| = 1 \).Khi \(\left| {z – 2w – 3 – 4i} \right| \) đạt giá trị lớn nhất thì \(\left| {z – w} \right| \) bằng

A. \(5\sqrt 5 \).

B. \(8\).

C. \(3 \).

D. \(2\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Gọi \(M,N\)lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \(z – 3 – 4i \) và \(2w \).

Ta có \(\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {z – 3 – 4i} \right) + \left( {3 + 4i} \right)} \right| = 1 \Leftrightarrow MI = 1 \), với \(I( – 3; – 4)\).

Suy ra tập hợp điểm \(M\) là đường tròn \(\left( {{T_1}} \right) \)tâm \(I( – 3; – 4)\) và bán kính \({R_1} = 1\).

Ta có \(\left| {2w} \right| = 2\) nên tập hợp điểm \(N \) là đường tròn \(\left( {{T_2}} \right) \)tâm \(O \) và bán kính \({R_2} = 2 \).

Ta có \(P = \left| {z – 2w – 3 – 4i} \right| = MN \).

\( \Rightarrow \max P = OI + {R_1} + {R_2} = 5 + 1 + 2 = 8 \).

Dấu bằng xảy ra khi \(6\overrightarrow {OI} = 5\overrightarrow {OM} \Rightarrow M\left( {\frac{{ – 18}}{5};\frac{{ – 24}}{5}} \right)\); \( – 2\overrightarrow {OI} = 5\overrightarrow {ON} \Rightarrow N\left( {\frac{6}{5};\frac{8}{5}} \right)\).

Khi đó ta có \(z = \frac{{ – 3}}{5} – \frac{{4i}}{5}\), \(w = \frac{3}{5} + \frac{{4i}}{5}\) nên \(\left| {z – w} \right| = 2 \)_.

=======