Câu hỏi:
Xét các số phức \(z,w\) thỏa mãn \(\left| z \right| = \left| {\rm{w}} \right| = \left| {z\, – {\rm{2w}}} \right|\). Hỏi giá trị lớn nhất của biểu thức
\(T = \frac{{\left| {\overline z } \right|}}{{1 + {{\left| {{\rm{z}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{w}}} \right|}^2}}}\) thuộc tập nào trong các tập dưới đây?
A. \(\left[ {\,0,\,1} \right]\).
B. \(\left( {1\,;\,2} \right]\).
C. \(\left( {2\,;\,3} \right]\).
D. \(\left( {3\,;\,5} \right]\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Trường hợp 1: xét \(w = 0 \Rightarrow \left| z \right| = \left| {\rm{w}} \right| = \left| {z\, – {\rm{2w}}} \right| = 0\). Khi đó: \(T = \frac{{\left| {\overline z } \right|}}{{1 + {{\left| {{\rm{z}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{w}}} \right|}^2}}} = \frac{{\left| z \right|}}{{1 + {{\left| {{\rm{z}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{w}}} \right|}^2}}} = 0\,.\,\,\left( 1 \right)\).
Trường hợp 2: xét \(w \ne 0\), đặt \(t = \frac{z}{w} = a + bi\,,\,\left( {a\,;\,b \in R} \right)\).
Ta có: \(\left| z \right| = \left| {\rm{w}} \right| = \left| {z\, – {\rm{2w}}} \right| \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {\frac{z}{{\rm{w}}}} \right| = 1\\\left| {\frac{z}{{\rm{w}}} – 2} \right| = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| t \right| = 1\\\left| {t – 2} \right| = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 1\\{\left( {a – 2} \right)^2} + {b^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\end{array} \right.\)
Suy ra: \(t = 1 \Rightarrow z = {\rm{w}}\). Khi đó: \(T = \frac{{\left| {\overline z } \right|}}{{1 + {{\left| {{\rm{z}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{w}}} \right|}^2}}} = \frac{{\left| z \right|}}{{1 + {{\left| {{\rm{z}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{w}}} \right|}^2}}} = \frac{{\left| z \right|}}{{1 + 4{{\left| {{\rm{z}}\,} \right|}^2}}} \le \frac{{\left| z \right|}}{{4\left| {{\rm{z}}\,} \right|}} = \frac{1}{4}\).
Đẳng thức xảy ra khi \(\left| z \right| = \frac{1}{2}\). Vậy \({\rm{MaxT = }}\frac{1}{4}\,.\,\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\),suy ra: \({\rm{MaxT = }}\frac{1}{4}\,.\,\)
=======
Trả lời