Xét các số phức \({z_1}\), \({z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} – 4} \right| = 1\) và \(\left| {i{z_2} – 2} \right| = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} + 2{z_2}} \right|\) bằng

Câu hỏi: Xét các số phức \({z_1}\), \({z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} – 4} \right| = 1\) và \(\left| {i{z_2} – 2} \right| = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} + 2{z_2}} \right|\) bằng A. \(4\sqrt 2  + 3\)  B. \(2\sqrt 5  – 2\)  C. \(4 – \sqrt 2 \)  D. \(4\sqrt 2  – 3\) LỜI GIẢI CHI TIẾT

Đặt \({z_3} =  – 2{z_2},\) suy ra \(P = \left| {{z_1} + 2{z_2}} \right| = \left| {{z_1} – ( – 2{z_2})} \right| = \left| {{z_1} – {z_3}} \right|.\) Và \({z_2} =  – \frac{1}{2}{z_3}\) thế vào \(\left| {i{z_2} – 2} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| { – \frac{1}{2}i{z_3} – 2} \right| = 1\)\( \Leftrightarrow \left| {{z_3} – 4i} \right| = 2.\) Gọi \(A,{\rm{ }}B\) là hai điểm biểu diễn cho hai số phức \({z_3},{\rm{ }}{z_1}.\) thuộc đường tròn tâm \(I(0;4),{\rm{ }}{R_3} = 2.\)  thuộc đường tròn tâm \(J(4;0),{\rm{ }}{R_1} = 1.\) \( \Rightarrow P = \left| {{z_1} – {z_3}} \right| = AB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{P_{\min }} = \left| {IJ – {R_1} – {R_3}} \right| = 4\sqrt 2  – 3\\{P_{\max }} = IJ + {R_1} + {R_3} = 4\sqrt 2  + 3\end{array} \right..\) ======= Lý thuyết KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)). Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\) Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ. Độ dài của vectơ OM  là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\) Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)

Một số tính chất cần lưu ý của số phức

Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\) Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0). Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo. Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức. Ta có: ​\(\left| \right| = \left| z \right|\). \(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực. \(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.