Xét các số phức \(z = x + y{\rm{i}}{\rm{,}}\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {z – 2 – 4{\rm{i}}} \right| = \left| {z – 2{\rm{i}}} \right|\) và \(\left| {z + i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm \(P = 4x – 2y.\)
A. \( – 2\).
B. \(10\).
C. \(4\).
D. \(7\).
Lời giải:
Ta có \(\left| {z – 2 – 4{\rm{i}}} \right| = \left| {z – 2{\rm{i}}} \right|\)\( \Leftrightarrow \left| {(x – 2) + (y – 4)i} \right| = \left| {x + \left( {y – 2} \right){\rm{i}}} \right|\)\( \Leftrightarrow {(x – 2)^2} + {(y – 4)^2} = {x^2} + {(y – 2)^2}\)\( \Leftrightarrow x + y – 4 = 0\).
Vậy tập hợp điểm \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn các số phức \(z = x + y{\rm{i}}{\rm{,}}\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) là đường thẳng \(\left( {\rm{d}} \right):x + y – 4 = 0\).
Gọi \(I\left( {0\,; – 1} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \( – i.\) Vậy ta có \({\left| {z + i} \right|_{\min }} \Leftrightarrow I{M_{\min }} = IH\)với \(H\) là hình chiếu của điểm \(I\) lên đường thẳng \(\left( d \right).\)
Ta có \(IH \bot {\rm{d}}:x + y – 4 = 0 \Rightarrow IH = x – y + m = 0.\) Do \(I\left( {0\,; – 1} \right) \in IH \Rightarrow m = – 1.\) Vậy \(IH\) có phương trình là \(x – y – 1 = 0.\)
Tọa độ điểm \(H = \left( d \right) \cap IH\) thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y – 4 = 0\\x – y – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right..\)
\( \Rightarrow P = 4x – 2y = 7.\)
===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Số phức.
Trả lời