Xét các số phức \(z\) và \(w\) thoả mãn \(z\left( {1 – w} \right) = 2 + 2wi\). Gọi \(S\) là tập các số phức \(z\) sao cho tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) là tia \(Oy\). Giá trị lớn nhất của \(P = \left| {{z_1} – 3 + i} \right| – \left| {\left( {1 + i} \right){z_2} – 4 – 2i} \right|\) với \({z_1}\,;\,{z_2} \in S\) là
A. \(2\).
B.\(4 – \sqrt 2 \).
C.\(\sqrt 2 \).
D.\(2 – \sqrt 2 \).
Lời giải
Ta có \(z\left( {1 – w} \right) = 2 + 2wi \Leftrightarrow w = \frac{{z – 2}}{{z + 2i}}\) với \(z \ne – 2i\).
Gọi \(M\left( {x\,;\,y} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z\).
Điều kiện \(z \ne – 2i\) tương đương với \(M\) không trùng với \(A\left( {0\,;\, – 2} \right)\).
Ta có \(w = \frac{{x – 2 + yi}}{{x + \left( {y + 2} \right)i}} = \frac{{\left( {x – 2 + yi} \right)\left[ {x – (y + 2)i} \right]}}{{{x^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + {y^2} – 2x + 2y + \left( { – 2x + 2y + 4} \right)i}}{{{x^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}}}\).
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) là tia \(Oy\)\( \Leftrightarrow \)\(w\) là số thuần ảo và có phần ảo không âm\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} – 2x + 2y = 0\\ – 2x + 2y + 4 \ge 0\\{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 2\\ – x + y + 2 \ge 0\\{x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} \ne 0\end{array} \right.\) .
Hệ chứng tỏ điểm tập hợp điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) thoả mãn yêu cầu là nửa đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1\,;\, – 1} \right)\), đường kính \(AB\) bỏ đi điểm \(A\left( {0\,;\, – 2} \right)\) .
Ta có \(P = \left| {{z_1} – 3 + i} \right| – \left| {\left( {1 + i} \right){z_2} – 4 – 2i} \right|\)\( = \left| {{z_1} – \left( {3 – i} \right)} \right| – \left| {\left( {1 + i} \right)} \right|\left| {{z_2} – \left( {3 – i} \right)} \right|\)\( = \left| {{z_1} – \left( {3 – i} \right)} \right| – \sqrt 2 \left| {{z_2} – \left( {3 – i} \right)} \right|\).
Gọi \({M_1};{M_2};E\) lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức \({z_1}\,;\,{z_2}\) và \(z’ = 3 – i\)\( \Rightarrow \)\({M_1}\,;\,{M_2}\) thuộc nửa đường tròn \(\left( C \right)\) ở trên và \(E\left( {3; – 1} \right)\).
Như vậy \(P = E{M_1} – \sqrt 2 E{M_2}\)
Gọi \(F\) là giao điểm của đường thẳng \(EI\) và nửa đường tròn \( \Rightarrow F\left( {1 – \sqrt 2 \,;\, – 1} \right)\).
Dễ thấy \(E{M_1} \le EF = EI + R = 2 + \sqrt 2 \); \(E{M_2} \ge EB = \sqrt 2 \).
Khi đó \(P \le 2 + \sqrt 2 – \sqrt 2 .\sqrt 2 = \sqrt 2 \). Dấu bằng xảy ra khi \({M_1} \equiv F\) và \({M_2} \equiv B\) hay \({z_1} = 1 – \sqrt 2 – i\,;\,{z_2} = 2\).
Vậy \(\max P = \sqrt 2 \)
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời