• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Trắc nghiệm Toán 12
  • Máy tính

Xét các số phức \(z,\) \({\rm{w}}\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 2\) và \(\left| {i.\overline w } \right| = 1\). Khi \(\left| {iz + w + 3 – 4i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(\left| {z – {\rm{w}}} \right|\) bằng

Đăng ngày: 05/08/2021 Biên tập: admin Thuộc chủ đề:Blog, Trắc nghiệm Cực trị Số phức, Trắc nghiệm Số phức Tag với:MAX - MIN SO PHUC, TN THPT 2021

adsense

Câu hỏi:
Xét các số phức \(z,\) \({\rm{w}}\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 2\) và \(\left| {i.\overline w } \right| = 1\). Khi \(\left| {iz + w + 3 – 4i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(\left| {z – {\rm{w}}} \right|\) bằng

A. \(\sqrt 5 \).

B. \(\frac{{\sqrt {29} }}{5}\).

C. \(3\).

D. \(\frac{{\sqrt {221} }}{5}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Cách 1:

Ta có \(\left| {iz + w + 3 – 4i} \right| \ge \left| {3 – 4i} \right| – \left| {iz + w} \right| \ge 5 – \left( {\left| {iz} \right| + \left| w \right|} \right) \ge 5 – \left( {2 + 1} \right) = 2\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}w = {k_1}\left( {3 – 4i} \right)\,\,khi\,\,\left( {{k_1} < 0} \right)\\i.z = {k_2}\left( {3 – 4i} \right)\,\,khi\,\,\left( {{k_2} < 0} \right)\end{array} \right.\,\,\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\left| w \right| = \left| {i\overline w } \right| = 1\,\,\\\left| {iz} \right|\, = \left| z \right| = 2\,\end{array} \right.\,\,\).

Giải hệ trên suy ra \({k_2} = – \frac{2}{5}\); \({k_1} = – \frac{1}{5}\).

Hay \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}w = – \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i\,\,\\iz = \frac{{ – 2}}{5}\left( {3 – 4i} \right)\end{array} \right.\,\,\\ \Rightarrow – z = \frac{{ – 2i}}{5}\left( {3 – 4i} \right) \Rightarrow z = – \frac{8}{5} – \frac{6}{5}i\end{array}\)

Khi đó \(z – w = – 1 – 2i\) \( \Rightarrow \left| {z – {\rm{w}}} \right| = \sqrt 5 \).

Cách 2:

Trong mặt phẳng \(Oxy\):

adsense

Gọi \(M\) là điểm biểu diễn của số phức \(iz\) \( \Rightarrow OM = 2\) \( \Rightarrow \) \(M\) thuộc đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tâm \(O\) bán kính \({R_1} = 2\).

Gọi \(N\) là điểm biểu diễn của số phức \(w\) \( \Rightarrow ON = 1\) \( \Rightarrow \) \(N\) thuộc đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) tâm \(O\) bán kính \({R_2} = 1\).

Gọi \(E\left( {3; – 4} \right)\). Khi đó \(A = \left| {iz + w + 3 – 4i} \right|\) \( = \left| {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OE} } \right|\).

Ta thấy \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(M,\) \(N,\) \(E\) thẳng hàng và \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {ON} \) ngược hướng với \(\overrightarrow {OE} \)

Đường thẳng \(OE\) có phương trình là \(y = \frac{{ – 4}}{3}x\).

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \(OE\) và đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\{x^2} + {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\{x^2} + {\left( {\frac{{ – 4}}{3}x} \right)^2} = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\25{x^2} = 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{6}{5}\\y = \frac{{ – 8}}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = – \frac{6}{5}\\y = \frac{8}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Vậy \(M\left( { – \frac{6}{5};\frac{8}{5}} \right)\).

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \(OE\) và đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\{x^2} + {\left( {\frac{{ – 4}}{3}x} \right)^2} = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\25{x^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\y = \frac{{ – 4}}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = – \frac{3}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy \(N\left( { – \frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right)\).

Do đó: \(w = – \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i\) và \(i.z = – \frac{6}{5} + \frac{8}{5}i \Leftrightarrow z = – \frac{8}{5} – \frac{6}{5}i\).

Vậy \(\left| {z – {\rm{w}}} \right| = \left| { – 1 – 2i} \right| = \sqrt 5 \).

=======

Thuộc chủ đề:Blog, Trắc nghiệm Cực trị Số phức, Trắc nghiệm Số phức Tag với:MAX - MIN SO PHUC, TN THPT 2021

Bài liên quan:

  1. (Chuyên Lam Sơn 2022) Cho \(M,N,P\) lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {5{z_1} + 9 – 3i} \right| = 5\left| {{{\bar z}_1}} \right|,\left| {{z_2} – 2} \right| = \left| {{z_2} – 3 – i} \right|,\left| {{z_3} + 1} \right| + \left| {{z_3} – 3} \right| = 4\). Khi \(M,N,P\) không thẳng hàng, giá trị nhỏ nhất của nửa chu vi \(p\) của tam giác \(MNP\) là

  2. (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên – 2022) Xét các số phức \(z = a + bi\,\,(a,b \in \mathbb{R})\) thỏa mãn \(|z – 3 + 2i| = \sqrt 5 \). Tính \(P = a – b\) khi\(|z – 3 – 3i| + |z – 7 – i|\) đạt giá trị lớn nhất.

  3. (Chuyên Vinh – 2022) Biết phương trình \({z^2} + mz + {m^2} – 2 = 0\) ( \(m\) là tham số thực) có hai nghiệm phức \({z_1},{z_2}\). Gọi \(A,B,C\) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2}\) và \({z_0} = i\). Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để diện tích tam giác \(ABC\) bằng 1 ?

  4. (Sở Bắc Giang 2022) Giả sử \({z_1};{z_2}\) là hai trong các số phức \(z\) thỏa mãn \((z – 6)(8 – i.\bar z)\) là số thự

    C. Biết rằng \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 6\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right|\) bằng

  5. (Sở Bạc Liêu 2022) Cho các số phức \(z\), \(w\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 2\), \(\left| {w – 3 + 2i} \right| = 1\) khi đó \(\left| {{z^2} – 2zw – 4} \right|\) đạt giá trị lớn nhất bằng

  6. (THPT Nho Quan A – Ninh Bình – 2022) Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} + 2mz – m + 12 = 0\) ( \(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 \left| {{z_1} – {z_2}} \right|?\)

  7. (Chuyên Vinh – 2022) Xét các số phức \(z\) và \(w\) thỏa mãn \(|z| = |w| = 1\) và \(|z + w| = \sqrt 2 \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = |zw + 2i(z + w) – 4|\) bằng

  8. (THPT Nguyễn Tất Thành-Đh-SP-HN-2022) Cho hai số phức \(z\) và \(w\) thay đổi thỏa mãn các điều kiện \(\left| {z + 1 + i} \right| = \left| z \right|\) và \(\left| {w – 3 – 4i} \right| = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {z – w – 1 – i} \right|\).

  9. (THPT Lê Thánh Tông – HCM-2022) Có tất cả bao nhiêu số phức \(w\) thỏa mãn điều kiện \(2w\overline w = 1\) và \(\frac{w}{{\overline {{w^2}} }}\) là số thuần ảo?

  10. (THPT Lê Thánh Tông – HCM-2022) Xét hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn các điều kiện \(\left| {{z_1}} \right| = 2,\left| {{z_2}} \right| = \sqrt 3 ,\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt 5 \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {3{z_1} – {z_2} – 10 + 5i} \right| + 2\) bằng

  11. (THPT Nho Quan A – Ninh Bình – 2022) Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z\) sao cho \(iz.\bar z + (1 + 2i)z – (1 – 2i)\bar z – 4i = 0\) và \(T\) là tập hợp tất cả các số phức \(w\) có phần thực khác 0 sao cho \(\frac{w}{{\bar w + 6i}}\) là số thự

    C. Xét các số phức \({z_1},{z_2} \in S\) và \(w \in T\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 2\sqrt 5 \) và \(\frac{{w – {z_1}}}{{{z_2} – {z_1}}} = \frac{{\bar w – \overline {{z_1}} }}{{\overline {{z_2}} – \bar z}}\). Khi \(\left| {w – {z_1}} \right| \cdot \left| {w – {z_1}} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\left| {w – {z_1}} \right| + \left| {w – {z_1}} \right|\) bằng

  12. (THPT Nguyễn Tất Thành-Đh-SP-HN-2022) Cho số phức \(z\) thay đổi thỏa mãn \(\left| {z – 1 + 3i} \right| = 2\)và số phức \(w = \left( {1 – 2i} \right)z\). Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(w\) là một đường tròn \(\left( C \right)\) trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Tìm bán kính \(R\)của đường tròn \(\left( C \right)\).

  13. (Chuyên Vinh – 2022) Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(z \cdot \bar z = |z + \bar z|\). Xét các số phức \({z_1},{z_2} \in S\) sao cho \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_1} – \sqrt 3 i} \right| + \left| {\overline {{z_2}} + \sqrt 3 i} \right|\) bằng

  14. (THPT Phù Cừ – Hưng Yên – 2022) Cho số phức \(z\) và số phức \(w = (z – i)(\bar z + i) + 2z – 3i\) thỏa mãn \(\left| {w – {i^{2022}}} \right| – \left| {{i^{2023}} \cdot \bar w – 1} \right| = 0\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = |z – 3 + i{|^2} + |\bar z + 1 – 3i{|^2}\) bằng \(m + n\sqrt 5 \) với \(m,n \in \mathbb{R}\). Tính \(P = m.n\).

  15. (Sở Hà Tĩnh 2022) Cho số phức \(z = x + yi,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {z + \overline z – 2} \right| + 3\left| {z – \overline z + 4i} \right| \le 6\) và \(\left| {z – 1 – i} \right| \le \left| {z + 3 + i} \right|\). Gọi \(M,m\) là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = 2x + 3y + 5\). Khi đó \(M + m\) bằng:

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

  • Sách Giáo Khoa lớp 2
  • Sách Giáo Khoa lớp 6
  • Sách Giáo Khoa lớp 12
  • Sách Giáo Khoa lớp 11
  • Sách Giáo Khoa lớp 10
  • Sách Giáo Khoa lớp 9
  • Sách Giáo Khoa lớp 8
  • Sách Giáo Khoa lớp 7
  • Sách Giáo Khoa lớp 5
  • Sách Giáo Khoa lớp 4
  • Sách Giáo Khoa lớp 3




Booktoan.com (2015 - 2023) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
THÔNG TIN:
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.