Xét các số phức \(z,\) \({\rm{w}}\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 2\) và \(\left| {i.\overline w } \right| = 1\). Khi \(\left| {iz + w + 3 – 4i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(\left| {z – {\rm{w}}} \right|\) bằng

Câu hỏi:
Xét các số phức \(z,\) \({\rm{w}}\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 2\) và \(\left| {i.\overline w } \right| = 1\). Khi \(\left| {iz + w + 3 – 4i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(\left| {z – {\rm{w}}} \right|\) bằng

A. \(\sqrt 5 \).

B. \(\frac{{\sqrt {29} }}{5}\).

C. \(3\).

D. \(\frac{{\sqrt {221} }}{5}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Cách 1:

Ta có \(\left| {iz + w + 3 – 4i} \right| \ge \left| {3 – 4i} \right| – \left| {iz + w} \right| \ge 5 – \left( {\left| {iz} \right| + \left| w \right|} \right) \ge 5 – \left( {2 + 1} \right) = 2\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}w = {k_1}\left( {3 – 4i} \right)\,\,khi\,\,\left( {{k_1} < 0} \right)\\i.z = {k_2}\left( {3 – 4i} \right)\,\,khi\,\,\left( {{k_2} < 0} \right)\end{array} \right.\,\,\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\left| w \right| = \left| {i\overline w } \right| = 1\,\,\\\left| {iz} \right|\, = \left| z \right| = 2\,\end{array} \right.\,\,\).

Giải hệ trên suy ra \({k_2} = – \frac{2}{5}\); \({k_1} = – \frac{1}{5}\).

Hay \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}w = – \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i\,\,\\iz = \frac{{ – 2}}{5}\left( {3 – 4i} \right)\end{array} \right.\,\,\\ \Rightarrow – z = \frac{{ – 2i}}{5}\left( {3 – 4i} \right) \Rightarrow z = – \frac{8}{5} – \frac{6}{5}i\end{array}\)

Khi đó \(z – w = – 1 – 2i\) \( \Rightarrow \left| {z – {\rm{w}}} \right| = \sqrt 5 \).

Cách 2:

Trong mặt phẳng \(Oxy\):

Gọi \(M\) là điểm biểu diễn của số phức \(iz\) \( \Rightarrow OM = 2\) \( \Rightarrow \) \(M\) thuộc đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tâm \(O\) bán kính \({R_1} = 2\).

Gọi \(N\) là điểm biểu diễn của số phức \(w\) \( \Rightarrow ON = 1\) \( \Rightarrow \) \(N\) thuộc đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) tâm \(O\) bán kính \({R_2} = 1\).

Gọi \(E\left( {3; – 4} \right)\). Khi đó \(A = \left| {iz + w + 3 – 4i} \right|\) \( = \left| {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OE} } \right|\).

Ta thấy \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(M,\) \(N,\) \(E\) thẳng hàng và \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {ON} \) ngược hướng với \(\overrightarrow {OE} \)

Đường thẳng \(OE\) có phương trình là \(y = \frac{{ – 4}}{3}x\).

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \(OE\) và đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\{x^2} + {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\{x^2} + {\left( {\frac{{ – 4}}{3}x} \right)^2} = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\25{x^2} = 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{6}{5}\\y = \frac{{ – 8}}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = – \frac{6}{5}\\y = \frac{8}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Vậy \(M\left( { – \frac{6}{5};\frac{8}{5}} \right)\).

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \(OE\) và đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\{x^2} + {\left( {\frac{{ – 4}}{3}x} \right)^2} = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\25{x^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\y = \frac{{ – 4}}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = – \frac{3}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy \(N\left( { – \frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right)\).

Do đó: \(w = – \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i\) và \(i.z = – \frac{6}{5} + \frac{8}{5}i \Leftrightarrow z = – \frac{8}{5} – \frac{6}{5}i\).

Vậy \(\left| {z – {\rm{w}}} \right| = \left| { – 1 – 2i} \right| = \sqrt 5 \).

=======