Trong mặt phẳng số phức cho \(A,B,M\) lần lượt là điểm biểu diễn \({z_1},{z_2},{z_3}\) sao cho \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2;{z_3} = 1 + i\) và \(A,B,M\) thẳng hàng; phần thực của số phức \({z_1}\) không âm. Tính \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right|\) sao cho \(T = MA + 2MB\) đạt giá trị nhỏ nhất.
A. \(3\).
B. \(\sqrt 5 \).
C. \(2\).
D. \(\sqrt 7 \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
\(A,B\) lần lượt là điểm biểu diễn \({z_1},{z_2}\) sao cho \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\) suy ra \(A,B \in \left( C \right)\) là đường tròn tâm \(O\) và bán kính \(R = 2\).
\(T = MA + 2MB \ge 2\sqrt {MA.2MB} \).
Theo phương tích đường tròn: \(MA.MB = {R^2} – O{M^2}\)nên:
\(T \ge 2\sqrt {MA.2MB} = 2\sqrt {2\left( {{R^2} – O{M^2}} \right)} = 2\sqrt {2\left( {4 – 2} \right)} = 4\)
Dấu bằng xảy ra khi \(MA = 2MB = \sqrt {2\left( {{R^2} – O{M^2}} \right)} = 2\).
Hay \(A\) là giao điểm của đường tròn \(\left( C \right)\) và đường tròn \(\left( {M;2} \right)\).
Tọa độ của \(A\) là nghiệm của hệ phương trình sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 4\\{x^2} + {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2x + 1 – 2y + 1 = 0\\{x^2} + {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1 – x\\{x^2} + {\left( {1 – x} \right)^2} = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{2}\left( n \right)\\x = \frac{{1 – \sqrt 7 }}{2}\left( l \right)\end{array} \right.\\y = 1 – x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{2}\\y = \frac{{1 – \sqrt 7 }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {\frac{{1 + \sqrt 7 }}{2};\frac{{1 – \sqrt 7 }}{2}} \right)\).
\(\overrightarrow {MA} = – 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = – \frac{1}{2}\left( {{x_A} – {x_M}} \right) + {x_M} = \frac{{5 – \sqrt 7 }}{4}\\{y_B} = – \frac{1}{2}\left( {{y_A} – {y_M}} \right) + {y_M} = \frac{{5 + \sqrt 7 }}{4}\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {\frac{{5 – \sqrt 7 }}{4};\frac{{5 + \sqrt 7 }}{4}} \right)\).
\(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {\frac{{7 + \sqrt 7 }}{4} + \frac{{7 – \sqrt 7 }}{4}i} \right| = \sqrt 7 \).
XEM THÊM
============== Chuyên đề Số Phức ôn thi THPT Quốc gia
Trả lời