Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ \({\rm{Ox}}y,\) gọi \(M\)là điểm biểu diễn của số phức \(\frac{z}{{\rm{w}}}\) với \(z,\,w\) khác 0,\(z + w \ne 0\) và \(\frac{1}{z} + \frac{3}{w} = \frac{3}{{z + w}}\). Khi đó \(OM\) bằng:

Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ \({\rm{Ox}}y,\) gọi \(M\)là điểm biểu diễn của số phức \(\frac{z}{{\rm{w}}}\) với \(z,\,w\) khác 0,\(z + w \ne 0\) và \(\frac{1}{z} + \frac{3}{w} = \frac{3}{{z + w}}\). Khi đó \(OM\) bằng:

A. \(2\).

B. \(\frac{{\sqrt[{}]{6}}}{3}\).

C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

D. \(\frac{2}{{\sqrt 3 }}\).

Lời giải:

Với hai số phức \(z,\,w\) khác 0 thỏa mãn \(z + w \ne {\rm{0}}\), ta có:

\(\frac{1}{z} + \frac{3}{w} = \frac{3}{{z + w}} \Leftrightarrow \frac{{w + 3z}}{{zw}} = \frac{3}{{z + w}} \Leftrightarrow \left( {w + 3z} \right)\left( {z + w} \right) = 3zw \Leftrightarrow 3{z^2} + zw + {w^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 3{\left( {\frac{z}{w}} \right)^2} + \left( {\frac{z}{w}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{z}{w} = \frac{{ – 1}}{6} – \frac{{\sqrt {11} }}{6}i}\\{\frac{z}{w} = \frac{{ – 1}}{6} + \frac{{\sqrt {11} }}{6}i}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(\left| {\frac{z}{w}} \right| = \sqrt {{{\left( { – \frac{1}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt {11} }}{6}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Số phức.