Trong không gian với hệ trục toạ độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{x^2} + {(y – 2)^2} + {z^2} = 12\) và điểm \(A\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oxy} \right)\), với \(a,b,c\) là những số nguyên. Qua \(A\) ta kẻ hai tiếp tuyến đến \(\left( S \right)\) tại những tiếp điểm \(M\) và \(N\). Hỏi có tất cả bao nhiêu điểm \(A\) để \(\widehat {MAN} = 120^\circ \)?

A. \(12\).

B. \(8\).

C. \(6\).

D. \(16\).

Lời giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I = (0;2;0)\) và có bán kính \(R = 2\sqrt 3 \). Tọa độ điểm \(A\) là: \(A = (a,b;0)\).

Hai tia tiếp tuyến từ \(A\) đến \(\left( S \right)\) tạo với nhau góc lớn nhất khi mặt phẳng chứa hai tia này chứa tâm \(I\) của mặt cầu \(\left( S \right)\). Dễ thấy góc lớn nhất này là \(\alpha \) và có: \(\sin \frac{\alpha }{2} = \frac{R}{{IA}}\).

Ta luôn có \(\widehat {MAN} = 120^\circ \le \alpha \Leftrightarrow \frac{\alpha }{2} \ge 60^\circ \).

Suy ra: \(\sin \frac{\alpha }{2} = \frac{R}{{IA}} \ge \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt 3 }}{{IA}} \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow IA \le 4\).

Để tồn tại các tiếp tuyến kẻ từ \(A\) đến \(\left( S \right)\) thì điểm \(A\) phải không được nằm trong khối cầu và không được nằm trên mặt cầu, vì khi đó \(A\) trùng với \(M\) và \(N\). Suy ra: \(2\sqrt 3 = R < IA \le 4\).

Suy ra: \(2\sqrt 3 = R < IA = \sqrt {{a^2} + {{(b – 2)}^2}} \le 4 \Leftrightarrow 12 \le {a^2} + {(b – 2)^2} \le 16\).

Để đếm toạ độ nguyên ta vẽ các đường tròn tâm \(I = (0;2)\) và hai bán kính \(2\sqrt 3 \); 4 như hình vẽ bên trên. Từ hình vẽ, ta suy ra có tất cả là: 12 điểm.