DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho hai đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ – 2}};\) \(d’:\frac{{x + 1}}{{ – 2}} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x – y – z = 0.\) Viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \) song song với \(\left( P \right)\), cắt \(d\) và \(d’\) lần lượt tại \(M\) và \(N\) sao cho \(MN = \sqrt 2 .\)
A. \(\frac{{7x – 4}}{3} = \frac{{7y – 4}}{8} = \frac{{7z + 8}}{{ – 5}}\).
B. \(\frac{{7x + 4}}{3} = \frac{{7y – 4}}{8} = \frac{{7z + 8}}{{ – 5}}\).
C. \(\frac{{7x – 1}}{3} = \frac{{7y – 4}}{8} = \frac{{7z + 3}}{{ – 5}}\).
D. \(\frac{{7x – 1}}{3} = \frac{{7y + 4}}{8} = \frac{{7z + 8}}{{ – 5}}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(M\left( {t;t; – 2t} \right)\) và \(N\left( { – 1 – 2t’,t’, – 1 – t’} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( { – 1 – 2t’ – t;t’ – t; – 1 – t’ + 2t} \right)\).
Do đường thẳng \(\Delta \) song song với \(\left( P \right)\) nên \( – 1 – 2t’ – t – t’ + t + 1 + t’ – 2t = 0 \Leftrightarrow t = – t’\).
Khi đó \(\overrightarrow {MN} = \left( { – 1 + t; – 2t; – 1 + 3t} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {14{t^2} – 8t + 2} \).
Ta có \(MN = \sqrt 2 \Leftrightarrow 14{t^2} – 8t + 2 = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \frac{4}{7}\end{array} \right.\).
Với \(t = 0\) thì \(M = \left( {0;0;0} \right) \in \left( P \right).\) (mâu thuẫn giả thiết).
Với \(t = \frac{4}{7}\) thì \(\overrightarrow {MN} = \left( { – \frac{3}{7}; – \frac{8}{7};\frac{5}{7}} \right) = – \frac{1}{7}\left( {3;8; – 5} \right)\) và \(M\left( {\frac{4}{7};\frac{4}{7}; – \frac{8}{7}} \right)\).
Vậy phương trình của \(\Delta \) là\(\frac{{x – \frac{4}{7}}}{3} = \frac{{y – \frac{4}{7}}}{8} = \frac{{z + \frac{8}{7}}}{{ – 5}} \Leftrightarrow \frac{{7x – 4}}{3} = \frac{{7y – 4}}{8} = \frac{{7z + 8}}{{ – 5}}.\)
Trả lời