Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho hai điểm \(A\left( {1; – 2;5} \right),\,B\left( {3;\, – 4;6} \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {\left( {z – 8} \right)^2} = 25\). Tập hợp các điểm \(M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) và cách đều hai điểm \(A,\,B\) là đường tròn \(\left( C \right)\). Tính chu vi của đường tròn \(\left( C \right)\).

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\)cho hai điểm \(A\left( {1; – 2;5} \right),\,B\left( {3;\, – 4;6} \right)\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {\left( {z – 8} \right)^2} = 25\). Tập hợp các điểm \(M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) và cách đều hai điểm \(A,\,B\) là đường tròn \(\left( C \right)\). Tính chu vi của đường tròn \(\left( C \right)\).

A. \(\frac{{5\sqrt 3 }}{4}\pi \).

B. \(\frac{{5\sqrt 3 }}{3}\pi \).

C. \(\frac{{5\sqrt 3 }}{2}\pi \).

D. \(5\sqrt 3 \pi \).

Lời giải:

Vì \(M\) cách đều hai điểm \(A,\,B\) nên \(M\) thuộc mặt phẳng trung trực \(\left( P \right)\)của \(AB\).

Mà \(M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\), do đó \(M\) thuộc đường tròn giao tuyến của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Giả sử đường tròn đó có bán kính \(r\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow I\left( {2;\, – 3;\,\frac{{11}}{2}} \right)\).

\(\left( P \right)\) đi qua \(I\) và có VTPT là \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;\, – 2;1} \right)\) nên có phương trình là \(4x – 4y + 2z – 31 = 0\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm , bán kính \(R = 5\).

Khi đó \(d\left( {K,\,\left( P \right)} \right) = \frac{5}{2} \Rightarrow r = \sqrt {{R^2} – {d^2}\left( {K,\,\left( P \right)} \right)} = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}.\)

\( \Rightarrow \) Chu vi của đường tròn \(\left( C \right)\) là \(2\pi r = 5\sqrt 3 \pi .\)

===========

Câu 44 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG TỌA ĐỘ OXYZ VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024