Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\,\,:\,\,{x^2}\, + \,{y^2} + \,{z^2}\, – \,\,8x\, + 6y\, + \,2z\,\, + 6\, = 0\)và mặt phẳng \(\left( P \right)\,\,:\,x\, – \,2y\, = \,\,0\). Có bao nhiệu điểm \(M\)có tọa độ nguyên nằm trên \(\left( P \right)\)sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của \(\left( S \right)\)qua \(M\)và vuông góc với nhau.
A. \(22\).
B. \(20\).
C. \(10\).
D. \(25\).
Lời giải:
Tâm và bán kình của mặt cầu \(\left( S \right)\)lần lượt là \(I\left( {4\,;\, – 3\,;\, – 1} \right)\), \(R\, = \,\sqrt {20} \)
Gọi \(M\,\left( {2a\,;\,a\,;\,b} \right)\, \in \,\left( P \right)\)
\(IM\, = \,\sqrt {{{\left( {2a\, – \,4} \right)}^2}\, + \,{{\left( {a\, + 3} \right)}^2}\, + \,{{\left( {b\,\, + \,1} \right)}^2}} \)
Để tồn tại các tiếp tuyến của \(\left( S \right)\)qua \(M\)thì \(IM\, \ge \,R\).
Khi \(IM\,\, > \,R\)thì tập hợp các tiếp tuyến của \(\left( S \right)\)qua \(M\)là một mặt nón tròn xoay đỉnh \(M\)ngoại tiếp \(\left( S \right)\), mỗi đường sinh là một tiếp tuyến. Để tồn tại cặp đường sin vuông góc với ngay thì góc ở đỉnh của mặt nón phải lớn hơn hoặc bằng \(90^\circ \)suy ra \(IM\, \le \,R\sqrt 2 \).
Theo yêu cầu bài ra ta có
\(R\, \le IM\, \le \,R\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \,\sqrt {20} \, \le IM\, \le \,\sqrt {40} \)\( \Leftrightarrow \,20 \le \,{\left( {2a\, – \,4} \right)^2}\, + \,{\left( {a\, + 3} \right)^2}\, + \,{\left( {b\,\, + \,1} \right)^2}\, \le \,40\)\( \Leftrightarrow 0\, \le \,5{\left( {a\, – \,1} \right)^2}\, + \,{\left( {b\,\, + \,1} \right)^2}\, \le \,20\)
Vì \(M\)có tọa độ nguyên nên ta có bảng giá trị sau
Vậy số điểm \(M\)là \(25\)điêm.
===========
Câu 44 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG TỌA ĐỘ OXYZ VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024
Để lại một bình luận