Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ – 1}}\) và\({d_2}:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z – 2}}{{ – 2}}\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng song song với \(\left( P \right):x + y + z – 7 = 0\) và cắt \({d_1},{\rm{ }}{d_2}\) lần lượt tại hai điểm \(A,B\) sao cho\(AB\) ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) là

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ – 1}}\) và\({d_2}:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z – 2}}{{ – 2}}\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng song song với \(\left( P \right):x + y + z – 7 = 0\) và cắt \({d_1},{\rm{ }}{d_2}\) lần lượt tại hai điểm \(A,B\) sao cho\(AB\) ngắn nhất. Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 – t\\y = \frac{5}{2}\\z = – \frac{9}{2} + t\end{array} \right.\).
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = \frac{5}{2} – t\\z = – \frac{9}{2} + t\end{array} \right.\).
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 – 2t\\y = \frac{5}{2} + t\\z = – \frac{9}{2} + t\end{array} \right.\).
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 12 – t\\y = 5\\z = – 9 + t\end{array} \right.\)
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Nhận xét \({d_1},{\rm{ }}{d_2}\) là hai đường thẳng chéo nhau.
\(\begin{array}{l}A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {1 + 2a;a; – 2 – a} \right)\\B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {1 + b; – 2 + 3b;2 – 2b} \right)\end{array}\)
\(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {b – 2a;3b – a – 2; – 2b + a + 4} \right)\)
\(\left( P \right)\)có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)\)
Vì \(\Delta //\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{n_P}} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_P}} = 0 \Leftrightarrow b – 2a + 3b – a – 2 – 2b + a + 4 = 0 \Leftrightarrow b = a – 1\).
Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( { – a – 1;2a – 5;6 – a} \right)\)
\(\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( { – a – 1} \right)}^2} + {{\left( {2a – 5} \right)}^2} + {{\left( {6 – a} \right)}^2}} \\{\rm{ }} = \sqrt {6{a^2} – 30a + 62} \\{\rm{ }} = \sqrt {6{{\left( {a – \frac{5}{2}} \right)}^2} + \frac{{49}}{2}} \ge \frac{{7\sqrt 2 }}{2};\forall a \in \mathbb{R}\end{array}\)
Dấu xảy ra khi \(a = \frac{5}{2} \Rightarrow A\left( {6;\frac{5}{2}; – \frac{9}{2}} \right),\,\,\overrightarrow {AB} = \left( { – \frac{7}{2};0;\frac{7}{2}} \right)\)
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {6;\frac{5}{2}; – \frac{9}{2}} \right)\) và vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { – 1;0;1} \right)\)
Vậy phương trình của \(\Delta \)là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 – t\\y = \frac{5}{2}\\z = – \frac{9}{2} + t\end{array} \right.\).