Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3; – 2;6} \right),{\rm{ }}B\left( {0;1;0} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 25\). Mặt phẳng \((P):ax + by + cz – 2 = 0\) đi qua A, Bvà cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính \(T = a + b + c\).

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay) ===============

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3; – 2;6} \right),{\rm{ }}B\left( {0;1;0} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 25\). Mặt phẳng \((P):ax + by + cz – 2 = 0\) đi qua A, Bvà cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính \(T = a + b + c\).

A. \(T = 3\). 

B. \(T = 5\). 

C. \(T = 2\). 

D. \(T = 4\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right),\) bán kính \(R = 5.\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vec-tơ pháp tuyến \({\vec n_P} = \left( {a;b;c} \right)\).

Theo giả thiết \(B\left( {0;1;0} \right) \in \left( P \right):b – 2 = 0 \Leftrightarrow b = 2.\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { – 3;3; – 6} \right)\) cùng phương với \(\vec u = \left( {1; – 1;2} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(AB:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 – t\\z = 2t\end{array} \right.\)

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn giao tuyến. \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên đường thẳng \(AB,\) \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(\left( P \right)\)

Ta có: \(K \in AB \Rightarrow K\left( {t;1 – t;2t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IK}  = \left( {t – 1; – t – 1;2t – 3} \right)\)

\(IK \bot AB \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {IK}  = 0 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow \overrightarrow {IK}  = \left( {0; – 2; – 1} \right)\).

\(r = \sqrt {{R^2} – {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right)}  = \sqrt {25 – {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right)}  = \sqrt {25 – I{H^2}} \).

Ta có: \({r_{\min }} \Leftrightarrow I{H_{\max }}\).

Mà \(IH \le IK \Rightarrow I{H_{\max }} = IK \Leftrightarrow H \equiv K \Rightarrow \left( P \right) \bot IK\)\( \Rightarrow {\vec n_P}\) và \(\overrightarrow {IK} \) cùng phương.

\( \Rightarrow {\vec n_P} = k.\overrightarrow {IK}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b =  – 2k\\c =  – k\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\k =  – 1\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\c = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow T = a + b + c = 0 + 2 + 1 = 3.\).

================= I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Phương trình mặt phẳng • Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0) 2.Khai triển củaphương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)