Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}\), \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3\\z = – 2 + t\end{array} \right.\). Có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả \({d_1},{d_2}\)và tiếp xúc với mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y – 2z – 3 = 0?\)
A. Vô số.
B. \(0.\)
C. \(2.\)
D. \(1.\)
Lời giải:
Nhận thấy \({d_1},{d_2}\) là hai đường thẳng chéo nhau, lần lượt có VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} (1; – 1; – 1)\,\,\,\,,\overrightarrow {{u_2}} (1;0;1)\).
Gọi \((P)\)là mặt phẳng song song với cả \({d_1},{d_2}\), khi đó VTPT của \((P)\)là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( – 1; – 2;1)\).
Khi đó phương trình mp\((P)\)có dạng: \( – x – 2y + z + D = 0.\)
Mặt cầu \((S)\)có tâm \(I(1;1;1),\,\,bk\,R = \sqrt 6 .\)
Mp \((P)\)tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) khi \(d(I,(P)) = R\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| { – 1 – 2 + 1 + D} \right|}}{{\sqrt 6 }} = \sqrt 6 \Leftrightarrow \left| {D – 2} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}D = 8\\D = – 4\end{array} \right.\).
Với \(D = 8\), mp \((P)\):\( – x – 2y + z + 8 = 0\)khi đó mp \((P)\)song song với \({d_1}\) nhưng chứa \({d_2}\): không thỏa mãn.
Với \(D = – 4\), mp \((P)\):\( – x – 2y + z – 4 = 0\)khi đó mp \((P)\)song song với \({d_1},{d_2}\): thỏa mãn.
Vậy có 1 mp \((P)\) thỏa mãn.