Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho hai điểm \(A\left( {2;4;1} \right)\), \(B\left( { – 1;1;3} \right)\)và mặt phẳng \(\left( P \right):x – 3y + 2z – 5 = 0\). Một mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua hai điểm \(A\), \(B\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) có dạng: \(ax + by + cz – 11 = 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(a + b = c\).
B. \(a + b + c = 5\).
C. \(a \in \left( {b;c} \right)\).
D. \(b < 2019\). Lời giải: Ta có: \(A\left( {2;4;1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;3} \right)\)\( \Rightarrow \,\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3;2} \right)\). Véc tơ pháp tuyến của\(\left( P \right)\) là: \(\overrightarrow n = \left( {1; - 3;2} \right)\). Do mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(AB\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) nên \(\left( Q \right)\) nhận véc tơ \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow n } \right] = \left( {0; - 8; - 12} \right)\) làm một véc tơ pháp tuyến nên phương trình của \(\left( Q \right)\) sẽ là: \(2\left( {y - 4} \right) + 3\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2y + 3z - 11 = 0\). Suy ra \(a = 0\), \(b = 2\), \(c = 3\)\( \Rightarrow a + b + c = 5\).