Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {0;1;2} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 3}}\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và chứa \(d\). Khoảng cách từ điểm \(M\left( {5; – 1;3} \right)\) đến \(\left( P \right)\) bằng

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {0;1;2} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 3}}\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và chứa \(d\). Khoảng cách từ điểm \(M\left( {5; – 1;3} \right)\) đến \(\left( P \right)\) bằng

A. \(5\).

 B. \(\frac{1}{3}\).

 C. \(1\).

 D. \(\frac{{11}}{3}\).

Lời giải:

Chọn C

Lấy \(B\left( {2;1;1} \right) \in d\) ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;0; – 1} \right)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {2;4;4} \right) = 2\left( {1;2;2} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và chứa \(d\) suy ra \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;2;2} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 2z – 6 = 0\)

Vậy \({\rm{d}}\left( {M,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {{x_M} + 2{y_M} + 2{z_M} – 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 1\).