Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {3;2;1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và cắt các trục tọa độ \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) lần lượt tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\) không trùng với gốc tọa độ sao cho \(M\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). Trong các mặt phẳng sau, mặt phẳng nào song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\)?

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {3;2;1} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và cắt các trục tọa độ \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) lần lượt tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\) không trùng với gốc tọa độ sao cho \(M\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). Trong các mặt phẳng sau, mặt phẳng nào song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\)?
A. \(3x + 2y + z – 14 = 0\).

B. \(3x + 2y + z + 14 = 0\).

C. \(2x + y + 3z + 9 = 0\).

D. \(2x + y + z – 9 = 0\).

Lời giải:

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên \(AB\), \(K\) là hình chiếu vuông góc \(B\) trên \(AC\).

Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot CH\\AB \bot CO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {COH} \right)\)\( \Rightarrow AB \bot OM\,\).

Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BK\\AC \bot BO\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {BOK} \right)\)\( \Rightarrow AC \bot OM\).

Suy ra \(OM \bot \left( {ABC} \right)\) hay \(\overrightarrow {OM} \) là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {3;2;1} \right)\) và có một véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {OM} = \left( {3;2;1} \right)\) là

\(3x + 2y + z – 14 = 0\).

Vậy mặt phẳng song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(3x + 2y + z + 14 = 0\).