(De toan 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2;1;1} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa trục \(Oy\) sao cho khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất. Phương trình của \(\left( P \right)\) là

(De toan 2022) Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2;1;1} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa trục \(Oy\) sao cho khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất. Phương trình của \(\left( P \right)\) là

A. \(x + z = 0\). B. \(x – z = 0\). C. \(2x + z = 0\). D. \(2x – z = 0\).

Lời giải

Gọi \(K\left( {0;1;0} \right)\) là hình chiếu của \(A\) lên trục \(Oy \Rightarrow \)\(\overrightarrow {AK}  = \left( { – 2;0; – 1} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Ta có luôn có: \(d\left( {A,(P)} \right) = AH \le AK\). Dấu bằng xảy ra khi \(H \equiv K\).

Khi đó \(\overrightarrow {AK} \) là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\), ( thỏa mãn \(\overrightarrow {AK}  \bot \overrightarrow j \) ).

Vậy \(\left( P \right)\) chứa trục \(Oy\) sao cho khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( P \right)\) lớn nhất đi qua \(O\)và nhận \(\overrightarrow {AK} \) là một véc tơ pháp tuyến có phương trình là: \( – 2(x – 0) + 0(y – 0) – 1(z – 0) = 0 \Leftrightarrow 2x + z = 0\).