DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)
===============
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho \(A\left( {1;2; – 3} \right)\), \(B\left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2}; – \frac{1}{2}} \right)\), \(C\left( {1\,;1\,;4} \right)\), \(D\left( {5\,;3\,;0} \right)\). Gọi \(\left( {{S_1}} \right)\)là mặt cầu tâm \(A\) bán kính bằng \(3\), \(\left( {{S_2}} \right)\)là mặt cầu tâm \(B\) bán kính bằng \(\frac{3}{2}.\)Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với 2 mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right),\left( {{S_2}} \right)\) đồng thời song song với đường thẳng đi qua 2 điểm \(C,D\).
A.\(1\).
B. \(2\).
C. \(4\).
D. Vô số.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(\left( \alpha \right):x + ay + bz + c = 0\) là mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
\(\overrightarrow {CD} = \left( {4;2; – 4} \right)\). \(CD{\rm{//}}\left( \alpha \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD} \bot \overrightarrow n \Rightarrow \overrightarrow {CD} .\overrightarrow n = 0\) ( \(\overrightarrow n = \left( {1;a;b} \right)\) là vecto pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\))
\( \Rightarrow 4 + 2a – 4b = 0 \Rightarrow a = 2b – 2\) (1)
\(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc \(\left( {{S_1}} \right)\) nên
\(d\left( {A;\left( \alpha \right)} \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 + 2a – 3b + c} \right|}}{{\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {1 + 2a – 3b + c} \right| = 3\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} \) (2)
\(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc \(\left( {{S_2}} \right)\) nên
\(d\left( {B;\left( \alpha \right)} \right) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{{\left| {\frac{3}{2} + \frac{3}{2}a – \frac{1}{2}b + c} \right|}}{{\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} }} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left| {3 + 3a – b + 2c} \right| = 3\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} \) (3)
Từ (2) và (3) ta có \(\left| {1 + 2a – 3b + c} \right| = \left| {3 + 3a – b + 2c} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + 2a – 3b + c = 3 + 3a – b + 2c\\1 + 2a – 3b + c = – 3 – 3a + b – 2c\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 2b + c + 2 = 0\\5a – 4b + 3c + 4 = 0\end{array} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \left[ \begin{array}{l}2b – 2 + 2b + c + 2 = 0\\10b – 10 – 4b + 3c + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = – 4b\,\,\,\,\,\,(4)\\c = 2 – 2b\,\,(5)\end{array} \right.\)
Từ (1), (2), (4) \( \Rightarrow \left| {1 + 4b – 4 – 3b – 4b} \right| = 3\sqrt {1 + {{\left( {2b – 2} \right)}^2} + {b^2}} \Leftrightarrow \left| { – 3b – 3} \right| = 3\sqrt {5{b^2} – 8b + 5} \)
\( \Leftrightarrow {b^2} + 2b + 1 = 5{b^2} – 8b + 5 \Leftrightarrow 4{b^2} – 10b + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 2 \Rightarrow a = 2;c = – 8\\b = \frac{1}{2} \Rightarrow a = – 1;c = – 2\end{array} \right.\)
Từ (1), (2), (5) \( \Rightarrow \left| {1 + 4b – 4 – 3b + 2 – 2b} \right| = 3\sqrt {1 + {{\left( {2b – 2} \right)}^2} + {b^2}} \Leftrightarrow \left| { – b – 1} \right| = 3\sqrt {5{b^2} – 8b + 5} \)
\( \Leftrightarrow {b^2} + 2b + 1 = 9\left( {5{b^2} – 8b + 5} \right) \Leftrightarrow 44{b^2} – 74b + 44 = 0\). Phương trình vô nghiệm.
Mặt khác \(CD{\rm{//}}\left( \alpha \right)\) nên \(C,D \notin \left( \alpha \right)\) nên \(\left( \alpha \right):x + 2y + 2z – 8 = 0\).
========
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\), có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right),\;{A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\), có phương trình là : \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right) + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: \(Ax + By + Cz + D = 0\) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)
Trả lời