Trong không gian \({\rm{Oxyz}}\), cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y + 2z – 3 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x – y + 2z – 14 = 0\), điểm \(A\left( {2;5;3} \right)\), \(B \in \left( S \right);C \in (P)\). Khi đó giá trị nhỏ nhất của \(CA + CB\) là
A. \(\sqrt {114} – 3\).
B. \(2\sqrt {29} – 3\).
C. \(\sqrt {114} + 3\).
D. \(2\sqrt {29} + 3\).
Lời giải
Mặt cầu \((S)\)có tâm \(I(1; – 2; – 1)\) và bán kính \(R = 3\).
Ta có \(\left( {2{x_A} – {y_A} + 2{z_A} – 14} \right)\left( {2{x_{_I}} – {y_{_I}} + 2{z_{_I}} – 14} \right) = 108 > 0\) suy ra \(A,B\)nằm về một phía so với
\(\left( P \right)\).
Gọi \(A’\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(\left( P \right)\)ta có \(CA + CB = CA’ + CB \ge A’B’\). Trong đó \(B’ = IA’ \cap \left( S \right)\).
Do đó \(CA + CB\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(A’B’ = IA’ – R\).
Ta có do \(AH\)vuông góc với mặt phẳng \((P)\) nên phương trình đường thẳng \(AH:\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y – 5}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{2}\)suy ra \(H(2 + 2t;5 – t;3 + 2t)\). \(H\) thuộc mặt phẳng \((P)\) nên \(2(2 + 2t) – (5 – t) + 2(3 + 2t) – 14 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)suy ra \(H(4;4;5)\).
Vậy \(A'(6;3;7)\) nên \(A’B’ = IA’ – R = \sqrt {114} – 3\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Hình học OXYZ
Trả lời