Trong không gian \({\rm{Ox}}yz\), cho đường thẳng \(\Delta :\,\frac{x}{1}\, = \frac{{y + 1}}{2}\, = \frac{{z – 1}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,x – 2y – z + 3 = 0\). Đường thẳng nằm trong \(\left( P \right)\) đồng thời cắt và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình là

Câu hỏi:
Trong không gian \({\rm{Ox}}yz\), cho đường thẳng \(\Delta :\,\frac{x}{1}\, = \frac{{y + 1}}{2}\, = \frac{{z – 1}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,x – 2y – z + 3 = 0\). Đường thẳng nằm trong \(\left( P \right)\) đồng thời cắt và vuông góc với \(\Delta \) có phương trình là

A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 1 – 2t\,}\\{z = 2 + 3t}\end{array}} \right.,\left( {t\, \in \,\mathbb{R}} \right)\).

B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 – t\,}\\{z = 2}\end{array}} \right.,\left( {t\, \in \,\mathbb{R}} \right)\).

C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 3}\\{y = – t\,}\\{z = 2t}\end{array}} \right.,\left( {t\, \in \,\mathbb{R}} \right)\).

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 1 – t\,}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.,\left( {t\, \in \,\mathbb{R}} \right)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vtpt .

Đường thẳng \(\Delta \) có vtcp

Gọi \(d\)là đường thẳng cần tìm, \(A = d \cap \Delta \Rightarrow a \in \Delta \Rightarrow A\left( {t\,;\, – 1 + 2t\;;\,1 + t} \right)\).

Do \(d \subset \left( P \right) \Rightarrow A \in \left( P \right) \Rightarrow t – 2\left( { – 1 + 2t} \right) – \left( {1 + t} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow A\left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\).

Do \(d\) nằm trong \(\left( P \right)\) và vuông góc với \(\Delta \) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{u_d}} \bot \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} }\\{\overrightarrow {{u_d}} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} }\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \,,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {0\,;\,2\,;\, – 4} \right)\).

Vậy đường thẳng \(d\) có vtcp \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {0\,;\,2\,;\, – 4} \right)\) và qua điểm \(A\left( {1\,;\,1\,;\,2} \right)\).

=======