Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho điểm \(A\left( {1\,;2\,;3} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z – 3}}{1}\). Tìm tọa độ điểm \(A’\) đối xứng với điểm \(A\) qua đường thẳng \(d\).

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho điểm \(A\left( {1\,;2\,;3} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z – 3}}{1}\). Tìm tọa độ điểm \(A’\) đối xứng với điểm \(A\) qua đường thẳng \(d\).

A. \(\left( {\frac{8}{3}; – \frac{5}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\).

B. \(\left( {\frac{8}{3};\frac{5}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\).

C. \(\left( {\frac{{13}}{3};\frac{{16}}{3};\frac{{11}}{3}} \right)\).

D. \(\left( {\frac{{13}}{3}; – \frac{{16}}{3};\frac{{11}}{3}} \right)\).

Lời giải

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(d\). Ta có phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(2\left( {x – 1} \right) + y – 2 + z – 3 = 0 \Leftrightarrow 2x + y + z – 7 = 0\).

Hệ phương trình tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = – 2 + t\\z = 3 + t\\2x + y + z – 7 = 0\end{array} \right.\). Từ đó ta tìm được giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) là \(H\left( {\frac{8}{3}; – \frac{5}{3};\frac{{10}}{3}} \right)\). Điểm \(A’\) đối xứng với điểm \(A\) qua đường thẳng \(d\) khi và chỉ khi \(H\) là trung điểm của \(AA’\) và do đó \(A’\left( {\frac{{13}}{3}; – \frac{{16}}{3};\frac{{11}}{3}} \right)\).