Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{{y – 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ – 1}}\). Hình chiếu vuông góc của \(d\) trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z – 5 = 0\) là đường thẳng có phương trình

Câu hỏi: Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{x}{2} = \frac{{y – 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{{ – 1}}\). Hình chiếu vuông góc của \(d\) trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z – 5 = 0\) là đường thẳng có phương trình

A. \(\frac{x}{1} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{1}\).

B. \(\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 5}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}\).

C. \(\frac{{x – 2}}{4} = \frac{{y – 5}}{{ – 3}} = \frac{{z + 2}}{{ – 1}}\).

D. \(\frac{{x – 2}}{{ – 2}} = \frac{{y – 5}}{{ – 5}} = \frac{{z + 2}}{7}\).

GY:

Phương trình tham số của \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = 2 + 3t}\\{z = – 1 – t}\end{array}} \right.\).

Gọi \(M = d \cap \left( P \right)\)\( \Rightarrow M\left( {2t\,;\,2 + 3t\,;\, – 1 – t} \right)\).

Do \(M \in \left( P \right):2t + 2 + 3t – 1 – t – 5 = 0 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow M\left( {2\,;\,5\,;\, – 2} \right)\).

Gọi \(d’\) là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(d’\) và \(d\).

\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( Q \right) \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} \bot \overrightarrow {{n_P}} }\\{d \subset \left( Q \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} \bot \overrightarrow {{u_d}} }\end{array}} \right\} \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {4\,;\, – 3\,;\, – 1} \right)\)

\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{d’ \subset \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d’}}} \bot \overrightarrow {{n_P}} }\\{d’ \subset \left( Q \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d’}}} \bot \overrightarrow {{n_Q}} }\end{array}} \right\} \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d’}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( { – 2\,;\, – 5\,;\,7} \right)\)

Đường thẳng \(d’\) qua điểm \(M\left( {2\,;\,5\,;\, – 2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{u_{d’}}} = \left( { – 2\,;\, – 5\,;\,7} \right)\) là vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là \(d’:\frac{{x – 2}}{{ – 2}} = \frac{{y – 5}}{{ – 5}} = \frac{{z + 2}}{7}\).

=======