Trong không gian \(Oxyz\)cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 5}}{3} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}},{d_2}:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.\) Đường thẳng vuông góc với \(\left( {Oxy} \right),\) đồng thời cắt cả \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình là:

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian \(Oxyz\)cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 5}}{3} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}},{d_2}:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{1}.\) Đường thẳng vuông góc với \(\left( {Oxy} \right),\) đồng thời cắt cả \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình là:

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = – 3 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + t\\z = – 3\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = – 2\\z = 3 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = – 2 + t\\z = 3\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi đường thẳng cần tìm là \(d\).
Giả sử \(d\) cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại \(M,N.\)
Ta thấy \({d_1}\)qua\(A( – 5;1; – 1)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3;1; – 2} \right)\)
\({d_2}\)qua\(B(0;0; – 1)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;2;1} \right)\)
Mà \(\overrightarrow {AB} = (5; – 1;0)\) và \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {5; – 5;5} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} = 15 \ne 0\)
Do đó \({d_1},{d_2}\) chéo nhau nên \(M,N\) phân biệt.
Vì \(M \in {d_1} \Rightarrow M\left( { – 5 + 3a;a; – 1 – 2a} \right)\),\(N \in {d_2} \Rightarrow N\left( {b;2b; – 1 + b} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {MN} = \left( {b – 3a + 5;2b – a;b + 2a} \right)\)
Vì \(d\) vuông góc \(\left( {Oxy} \right),\) nên \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương với \(\overrightarrow k = (0;0;1)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b – 3a + 5 = 0\\2b – a = 0\\b + 2a \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M(1;2; – 5)\\N(1;2;0)\end{array} \right.\)
Như vậy đường thẳng \(d\) qua \(M(1;2; – 5)\) và có VTCP \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) có phương trình là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = – 5 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).