DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Trong không gian \(Oxyz\), viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau \({d_1}:\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 2 + t\\z = 5\end{array} \right.\)
A. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}\).
B. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}\).
C. \(\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – 2}}{{ – 2}} = \frac{{z – 3}}{2}\).
D. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{2}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; – 1; – 1} \right)\) là vtcp của đường thẳng \({d_1}\) ; \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1;0} \right)\) là vtcp của đường thẳng \({d_2}\).
Gọi \(d \cap {d_1} = A,d \cap {d_2} = B\).
Điểm \(A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {2 + u;1 – u;2 – u} \right)\).
Điểm \(B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {3 + t;2 + t;5} \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {t – u + 1;t + u + 1;u + 3} \right)\)
\(d\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\\\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t – u + 1 – t – u – 1 – u – 3 = 0\\t – u + 1 + t + u + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 3u – 3 = 0\\2t + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = – 1\\u = – 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow A\left( {1;2;3} \right),\overrightarrow {AB} = \left( {1; – 1;2} \right)\).
Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{2}\).
Trả lời