Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z = 0\) và mặt cầu\(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 1.\) Xét một điểm \(M\) thay đổi trên \(\left( P \right).\) Gọi khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh là điểm \(M\) và có đường tròn đáy là tập hợp các tiếp điểm vẽ từ \(M\) đến mặt cầu \(\left( S \right).\) Khi \(\left( N \right)\)có thể tích nhỏ nhất, đáy của \(\left( N \right)\)có phương trình dạng \(x + ay + bz + c = 0.\) Tính \(a + b + c.\) 

DẠNG TOÁN KHỐI TRÒN XOAY BÀI TOÁN THỰC TẾ – THỂ TÍCH HÌNH TRÒN XOAY – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  ĐỀ BÀI:
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z = 0\) và mặt cầu\(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 1.\) Xét một điểm \(M\) thay đổi trên \(\left( P \right).\) Gọi khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh là điểm \(M\) và có đường tròn đáy là tập hợp các tiếp điểm vẽ từ \(M\) đến mặt cầu \(\left( S \right).\) Khi \(\left( N \right)\)có thể tích nhỏ nhất, đáy của \(\left( N \right)\)có phương trình dạng \(x + ay + bz + c = 0.\) Tính \(a + b + c.\) 

A. \( – 2\). 

B. \(0\). 

C. \(3\). 

D. \(2.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Tâm mặt cầu \(I\left( {0;\,\,1;\,\,2} \right),R = 1.\) Gọi \(IM = x,\,\,x \ge d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 .\) 

Gọi A, B,là hai tiếp điểm kẻ từ M, H là tâm đường tròn đáy của khối nón \(\left( N \right)\).

\(IM = x \Rightarrow h = MH,\;R = AH.\) 

Tam giác \(MAI\) vuông tại A, có\(AI = 1,\;IM = x\; \Rightarrow IH = \frac{1}{x},\;MH = x – \frac{1}{x} = \frac{{{x^2} – 1}}{x}\) 

\(R = HA = \sqrt {A{I^2} – H{I^2}}  = \sqrt {1 – \frac{1}{{{x^2}}}}  = \sqrt {\frac{{{x^2} – 1}}{x}} \) 

\({V_{\left( N \right)}} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi \frac{{{{\left( {{x^2} – 1} \right)}^2}}}{{{x^3}}} = f\left( x \right)\) 

\(f’\left( x \right) = \frac{\pi }{3}\frac{{\left( {{x^2} – 1} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)}}{{{x^4}}} > 0\,\,\;\forall x \ge \sqrt 3 .\) 

Vậy Min \(f\left( x \right) = f\left( {\sqrt 3 } \right)\)hay Min \({V_{\left( N \right)}}\) đạt được khi \(x = \sqrt 3  \Rightarrow MH = 2HI\) 

Mlà hình chiếu vuông góc của I trên (P).

Đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là

\(\left( \Delta  \right):\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \quad t}\\{y = 1 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\) (với t là tham số). \(M \in \left( \Delta  \right) \Rightarrow M\left( {t;1 + t;2 + t} \right)\) 

M là giao điểm của đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) và (P)

\(M\left( {t;1 + t;2 + t} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow t + \left( {1 + t} \right) + (2 + t) = 0 \Leftrightarrow t =  – 1\) 

\( \Rightarrow M\left( { – 1;0;1} \right).\)

Mặt khác ta có:  

Mặt phẳng đáy của \(\left( N \right)\) là mặt phẳng đi qua H và nhận  làm VTPT Vậy phương trình mặt phẳng đáy của khối nón \(\left( N \right)\) là: \(x + y + z – 2 = 0 \Rightarrow a + b + c = 0.\) 

===========