[Mức độ 3] Trong không gian, khi quay một hình vuông xung quanh cạnh của nó thì được một hình trụ có diện tích xung quanh bằng diện tích của hình tròn có đường kính là \(a\sqrt 2 \). Tính thể tích \(V\)của khối trụ tròn xoay được giới hạn bởi hình trụ nói trên.

A. \(V = \frac{{{a^3}}}{{12}}\).

B. \(V = \pi {a^3}\).

C. \(V = \frac{{\pi {a^3}}}{{24}}\).

D. \(V = \frac{{\pi {a^3}}}{8}\).

Lời giải:

Gọi \(x\) là cạnh của hình vuông đã cho. Khi đó hình trụ tròn xoay có bán kính đáy \(r = x\) và chiều cao \(h = x\). Do đó, diện tích xung quanh của hình trụ là \(S = 2\pi rh = 2\pi {x^2}.\)

Từ giả thiết, ta có \(2\pi {x^2} = \pi \cdot {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\), hay \(x = \frac{a}{2}.\) Vậy \(V = \pi {r^2}h = \pi \cdot {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{{\pi {a^3}}}{8}.\)