Hai hình nón bằng nhau có chiều cao bằng 2 dm được đặt như hình vẽ bên (mỗi hình đều đặt thẳng đứng với đỉnh nằm phía dưới). Lúc đầu, hình nón trên chứa đầy nước và hình nón dưới không chứa nướ

C. Sau đó, nước được chảy xuống hình nón dưới thông qua lỗ trống ở đỉnh của hình nón trên. Hãy tính chiều cao của nước trong hình nón dưới tại thời điểm khi mà chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm.

A. \(\sqrt[3]{7}.\).

B. \(\frac{1}{3}\).

C. \(\sqrt[3]{5}\).

D. \(\frac{1}{2}\).

Lời giải:

Gọi a là bán kính đáy hình nón;

\({V_1},{V_2}\) lần lượt là thể tích của hình nón trên lúc chứa đầy nước và khi chiều cao của nước bằng 1 dm;

h, \({V_3}\) lần lượt là chiều cao của nước, thể tích của hình nón dưới khi chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm;

R, r lần lượt là bán kính của hình nón trên của nước, bán kính của hình nón dưới của nước khi chiều cao của nước trong hình nón trên bằng 1 dm.

Ta có: \(\frac{R}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow R = \frac{a}{2}\).

Thể tích nước của hình nón trên khi chiều cao bằng 1 là \({V_2} = \frac{1}{3}.1.\pi {\left( {\frac{1}{2}a} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}}}{{12}}.\)

Mặt khác: \(\frac{r}{a} = \frac{h}{2} \Rightarrow r = \frac{{ah}}{2}.\)

Do đó thể tích nước hình nón dưới \({V_3} = \frac{1}{3}.h.\pi {\left( {\frac{h}{2}a} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}{h^3}}}{{12}}.\)

Thể tích nước của hình nón trên khi đầy nước \({V_1} = \frac{1}{3}.2.\pi {a^2}.\)

Lại có: \({V_3} = {V_1} – {V_2} \Rightarrow \)\(\frac{{\pi {a^2}{h^3}}}{{12}} = \)\(\frac{1}{3}.2.\pi {a^2} – \) \(\frac{{\pi {a^2}}}{{12}}\)\( \Leftrightarrow 1 + {h^3} = 8 \Leftrightarrow h = \sqrt[3]{7}.\)