Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):6x + 4y + 5z – 3 = 0\) và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{1} = \frac{{y – 3}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}\), \({d_2}:\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y – 1}}{3} = \frac{{z – 2}}{1}\). Đường thẳng vuông góc với \(\left( P \right)\), đồng thời cắt cả \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình là

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):6x + 4y + 5z – 3 = 0\) và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{1} = \frac{{y – 3}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}\), \({d_2}:\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y – 1}}{3} = \frac{{z – 2}}{1}\). Đường thẳng vuông góc với \(\left( P \right)\), đồng thời cắt cả \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình là

A. \(\frac{x}{6} = \frac{{y – 3}}{4} = \frac{{z + 1}}{5}.\)
B. \(\frac{{x + 6}}{6} = \frac{{y + 7}}{4} = \frac{{z + 4}}{5}.\)
C. \(\frac{{x – 1}}{{ – 6}} = \frac{{y + 3}}{{ – 4}} = \frac{{z + 1}}{5}.\)
D. \(\frac{{x – 3}}{6} = \frac{{y + 1}}{{ – 4}} = \frac{{z – 2}}{{ – 5}}.\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(A\left( {a;2a + 3;3a – 1} \right)\) và \(B\left( {2b + 2;3b + 1;b + 2} \right)\) lần lượt là giao điểm của \(d\) với \({d_1}\) và \({d_2}\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2b – a + 2;3b – 2a – 2;b – 3a + 3} \right)\). Khi đó
\(d \bot \left( P \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{2b – a + 2}}{6} = \frac{{3b – 2a – 2}}{4} = \frac{{b – 3a + 3}}{5}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4b – 2a + 4 = 9b – 6a – 6\\15b – 10a – 10 = 4b – 12a + 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a – 5b + 10 = 0\\2a + 11b – 22 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 2\end{array} \right.\)
Suy ra \(\overrightarrow {AB} = \left( {6;4;5} \right)\), \(A\left( {0;3; – 1} \right)\) và \(B\left( {6;7;4} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(d:\frac{x}{6} = \frac{{y – 3}}{4} = \frac{{z + 1}}{5}\).