Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right): – 3x + 2y + 2z – 1 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 6z + 5 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\)đi qua \(M\left( {4;\,3;\,4} \right)\), vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)và tiếp xúc mặt cầu \(\left( S \right)\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right): – 3x + 2y + 2z – 1 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 6z + 5 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\)đi qua \(M\left( {4;\,3;\,4} \right)\), vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)và tiếp xúc mặt cầu \(\left( S \right)\).

A. \(2x + 2y + z + 18 = 0\); \(2x + y + 2z – 19 = 0\).

B. \(2x – y – 2z – 10 = 0\); \(2x + y + 2z – 19 = 0\).

C. \(2x + y + 2z – 19 = 0\);\(2x + 2y + z – 18 = 0\).

D. \(2x – y – 2z + 3 = 0\);\(2x + 2y + z + 18 = 0\).

Lời giải:

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có véc tơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _{_{\left( \alpha \right)}}} = \left( { – 3;\,2;\,2} \right)\).

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;\,2;\,3} \right)\) và bán kính \(R = 3\).

Gọi véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \({\overrightarrow n _{_{\left( P \right)}}} = \left( {a;\,b;\,c} \right),\,\,{a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(a\left( {x – 4} \right) + b\left( {y – 3} \right) + c\left( {z – 4} \right) = 0\).

Do \(\left( P \right) \bot \left( \alpha \right)\) nên \({\overrightarrow n _{_{\left( \alpha \right)}}}.{\overrightarrow n _{_{\left( P \right)}}} = 0 \Leftrightarrow – 3a + 2b + 2c = 0 \Leftrightarrow 3a = 2\left( {b + c} \right)\).

Do mặt phẳng \(\left( P \right)\)tiếp xúc mặt cầu \(\left( S \right)\) nên \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\frac{{\left| { – 3a – b – c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 3\)

\( \Leftrightarrow 9\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = {\left( {3a + b + c} \right)^2},\,\,\left( * \right)\).

Thay \(3a = 2\left( {b + c} \right)\) vào \(\left( * \right)\) ta được

\(\begin{array}{l}4{\left( {b + c} \right)^2} + 9\left( {{b^2} + {c^2}} \right) = {\left( {2b + 2c + b + c} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{\left( {b + c} \right)^2} + 9\left( {{b^2} + {c^2}} \right) = 9{\left( {b + c} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2{b^2} – 5bc + 2{c^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2b – c} \right)\left( {b – 2c} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2b = c\\b = 2c\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(2b = c\): chọn \(b = 1 \Rightarrow c = 2,\,{\rm{ }}a = 2 \Rightarrow \left( P \right):2x + y + 2z – 19 = 0\).

Với \(b = 2c\): chọn \(b = 2 \Rightarrow c = 1,{\rm{ }}\,a = 2 \Rightarrow \left( P \right):2x + 2y + z – 18 = 0\).

===========

Câu 44 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG TỌA ĐỘ OXYZ VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024