Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x – 4y – 4z = 0\) và điểm \(A(4;4;0).\) Điểm \(B\) thuộc mặt cầu \((S)\) sao cho tam giác \(OAB\) cân tại \(B\) và có diện tích bằng \(8.\) Phương trình mặt phẳng qua ba điểm \(O,{\rm{ }}A,{\rm{ }}B\) là

Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x – 4y – 4z = 0\) và điểm \(A(4;4;0).\) Điểm \(B\) thuộc mặt cầu \((S)\) sao cho tam giác \(OAB\) cân tại \(B\) và có diện tích bằng \(8.\) Phương trình mặt phẳng qua ba điểm \(O,{\rm{ }}A,{\rm{ }}B\) là

A. \(z = 0\)

B. \(z – y – z = 0.\)

C. \(x – y + 2z = 0.\)

D. \(x – y + z = 0.\)

Lời giải:

FB: Đoàn Uyên

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;2;2} \right)\), bán kính \(R = 2\sqrt 3 \).

Nhận thấy \(A,O \in \left( S \right)\).

Tam giác \(OAB\) cân tại \(B\) nên \(B\) thuộc mặt phẳng trung trực của \(OA\).

Mặt phẳng trung trực của \(OA\) đi qua \(M\left( {2\,;\,2\,;\,0} \right)\) là trung điểm \(OA\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {OA} = \left( {4\,;\,4 & & ;\,0} \right)\) nên có phương trình: \(4\left( {x – 2} \right) + 4\left( {y – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y – 4 = 0\) \(\left( P \right)\).

Điểm \(B \in \left( P \right) \Rightarrow B\left( {x\,;\,4 – x\,;\,z} \right)\).

\(\overrightarrow {OA} = \left( {4;4;0} \right)\), \(\overrightarrow {OB} = \left( {x & ;\,4 – x\,;\,z} \right)\);

\(\left[ {\overrightarrow {OA} ;\,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {4z; – 4z;16 – 8x} \right)\).

\({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {16{z^2} + 16{z^2} + {{\left( {16 – 8x} \right)}^2}} = 8\)\( \Leftrightarrow {z^2} + 2{\left( {2 – x} \right)^2} = 8\) (1).

Mà \(B \in \left( S \right)\) nên \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 12\)\( \Leftrightarrow 2{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 12\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(8 – {z^2} = 12 – {\left( {z – 2} \right)^2} \Leftrightarrow z = 0\).

Thế vào (1) ta được: \(2{\left( {2 – x} \right)^2} = 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}B\left( {0;4;0} \right)\\B\left( {4;0;0} \right)\end{array} \right.\).

Với \(B\left( {0;4;0} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {0;0;16} \right) = 16\left( {0;0;1} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\) là \(z = 0\).

Với \(B\left( {4;0;0} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {0;0; – 16} \right) = – 16\left( {0;0;1} \right)\). Phương trình mphẳng \(\left( {OAB} \right)\) là \(z = 0\).

Tóm lại, phương trình mặt phẳng \(\left( {OAB} \right)\) là \(z = 0\).

===========

Câu 44 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG TỌA ĐỘ OXYZ VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024