Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 26\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):2x + 2y – z + 5 = 0\). Có bao nhiêu điểm \(M\) thuộc trục hoành, với hoành độ là số nguyên, mà từ \(M\) kẻ được đến \(\left( S \right)\) hai tiếp tuyến cùng song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\)?
A. \(6\).
B. \(7\).
C. \(10\).
D. \(9\).
Lời giải:
Fb:ChauNgoc
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2;\, – 1;\, – 3} \right),\,R = \sqrt {26} \).
Ta có: \(M \in Ox \Rightarrow M\left( {a;\,0;\,0} \right)\)
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ \(M\) đến \(\left( S \right)\).
Khi đó \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {a;\,0;\,0} \right)\), song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\), phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:
\(2\left( {x – a} \right) + 2y – z = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y – z – 2a = 0\)
Ta có: \(M\) là điểm nằm ngoài mặt cầu, suy ra
\(IM > R \Leftrightarrow {\left( {a – 2} \right)^2} + 1 + 9 > 26 \Leftrightarrow {\left( {a – 2} \right)^2} > 16\) (1)
\(d\left( {I,\,\left( P \right)} \right) < R \Leftrightarrow \frac{{\left| {4 – 2 + 3 – 2a} \right|}}{3} < \sqrt {26} \Leftrightarrow \left| {5 – 2a} \right| < 3\sqrt {26} \) (2)
Từ (1) và (2), suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a – 2} \right)^2} > 16\\\left| {5 – 2a} \right| < 3\sqrt {26} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a > 6\\a < – 2\end{array} \right.\\ – 5 \le a \le 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 5 \le a \le – 3\\7 \le a \le 10\end{array} \right.\) (do \(a \in \mathbb{Z}\))
Vậy có \(7\) điểm \(M\) thoả mãn.
===========
Câu 44 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG TỌA ĐỘ OXYZ VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024
Để lại một bình luận