Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\). Điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 – 2t\\z = t\end{array} \right.\,\,,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) sao cho từ \(M\) kẻ được ba tiếp tuyến là \(MA,\;MB,\;MC\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\). Biết rằng mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + 4z + 3 = 0\). Tính thể tích khối nón có đỉnh \(M\) và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

A. \(\frac{{18\pi \sqrt 3 }}{7}\).

B. \(\frac{{16\pi \sqrt 3 }}{{27}}\).

C. \(\frac{{8\pi }}{3}\).

D. \(\frac{{2116\pi }}{{81\sqrt {27} }}\).

Lời giải:

Từ phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) suy ra tâm \(I\left( {1;\,0 & ;\,0} \right)\) và bán kính \(R = 2\).

Gọi \(M\left( {1 + t;\,\,3 – 2t;\,\,t} \right)\) là điểm thuộc \(\Delta \).

Gọi \(T\left( {x;\,y;\,z} \right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến bất kỳ kẻ từ \(M\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\).

Suy ra ta có: \({\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\). Hay: \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 3 + 2x\).

Theo tính chất của tiếp tuyến ta có:

\(M{T^2} + I{T^2} = M{I^2} \Leftrightarrow {\left( {x – \left( {t + 1} \right)} \right)^2} + {\left( {y – \left( {3 – 2t} \right)} \right)^2} + {\left( {z – t} \right)^2} + 4 = {t^2} + {\left( {3 – 2t} \right)^2} + {t^2}\)

\( \Leftrightarrow tx + \left( {3 – 2t} \right)y + tz – t – 4 = 0\) (1)

Do \(A,B,C\) cũng là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ \(M\) nên tọa độ các điểm \(A;\,B;\,C\) cũng thỏa mãn phương trình (1).

Hay phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(tx + \left( {3 – 2t} \right)y + tz – t – 4 = 0\).

Do \(\left( {ABC} \right) \bot \left( P \right)\) nên \({\overrightarrow n _{\left( {ABC} \right)}}.{\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = 0 \Leftrightarrow t + 3 – 2t + 4t = 0 \Leftrightarrow t = – 1\).

Suy ra \(M\left( {0;\,\,5;\,\, – 1} \right)\) và phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\): \(x – 5y + z + 3 = 0\).

Ta có: \(d\left( {M;\,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{| – 25 – 1 + 3|}}{{\sqrt {27} }} = \frac{{23}}{{\sqrt {27} }}\).

\(d\left( {I;\,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{|1 + 3|}}{{\sqrt {27} }} = \frac{4}{{3\sqrt 3 }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{9}\)

Gọi \(r\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Khi đó:

\(r = \sqrt {{R^2} – {d^2}\left( {I;\,\left( {ABC} \right)} \right)} = \sqrt {4 – {{\left( {\frac{{4\sqrt 3 }}{9}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt {69} }}{9}\).

Vậy thể tích khối nón cần tìm là:

\(V = \frac{1}{3}.{S_{d\’a y}}.d\left( {M;\,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{3}.\,\pi {r^2}.d\left( {M;\,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{3}.\,\pi .\frac{{276}}{{81}}.\frac{{23}}{{\sqrt {27} }} = \frac{{2116\pi }}{{81\sqrt {27} }}\) (đvtt).