Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 48\). Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng đi qua hai điểm \(A\left( {0;0; – 4} \right)\), \(B\left( {2;0;0} \right)\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\). Khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh là tâm của \(\left( S \right)\), đường tròn đáy là \(\left( C \right)\) có thể tích lớn nhất bằng:

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay)

===============

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 48\). Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng đi qua hai điểm \(A\left( {0;0; – 4} \right)\), \(B\left( {2;0;0} \right)\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\). Khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh là tâm của \(\left( S \right)\), đường tròn đáy là \(\left( C \right)\) có thể tích lớn nhất bằng:

A. \(\frac{{128\pi }}{3}\). 

B. \(39\pi \). 

C. \(\frac{{88\pi }}{3}\). 

D. \(\frac{{215\pi }}{3}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có tâm mặt cầu \(\left( S \right)\) là \(I\left( {1; – 2;3} \right)\) và bán kính \(R = 4\sqrt 3 \)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(I\) lên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)

Vậy chiều cao của khối nón \(\left( N \right)\) là \(h = d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right) = IH \le IK\), trong đó \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(AB\).

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng đi qua \(I\) và vuông góc với \(AB\), nên \(\left( Q \right):x + 2z – 7 = 0\)

Phương trình \(AB:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z =  – 4 + 2t\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ \(K\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y – 7 = 0\\x = t\\y = 0\\z =  – 4 + 2t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\x = 3\\y = 0\\z = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow K\left( {3;0;2} \right)\)\( \Rightarrow IK = \sqrt {{{\left( {3 – 1} \right)}^2} + {{\left( {0 + 2} \right)}^2} + {{\left( {2 – 3} \right)}^2}}  = 3 \Rightarrow h \in \left[ {0;3} \right]\)

Bán kính đáy của khối nón \(\left( N \right)\) \(r = \sqrt {{R^2} – {h^2}}  = \sqrt {48 – {h^2}} \)

Vậy thể tích của khối nón \(\left( N \right)\) \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}.h = \frac{1}{3}\pi \left( {48 – {h^2}} \right).h = 16\pi h – \frac{1}{3}\pi {h^3}\)\(,\,h \in \left[ {0;3} \right]\)

Ta có \(V’ = 16\pi  – \pi {h^2}\)

\(V’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h = 4 \notin \left[ {0;3} \right]\\h =  – 4 \notin \left[ {0;3} \right]\end{array} \right.\)

Khi \(h = 0 \Rightarrow V = 0\)

Khi \(h = 3 \Rightarrow V = 39\pi \)

Vậy \({V_{\max }} = 39\pi \).

=================

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Phương trình mặt phẳng
• Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0)
2.Khai triển củaphương trình tổng quát
Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)