Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 4\) và điểm \(A\left( {2;3;3} \right)\). Qua \(A\) kẻ các tiếp tuyến đến \(\left( S \right)\). Khi đó, tập hợp các tiếp điểm \(M\) là một đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

A. \(\frac{{3\sqrt {69} }}{{46}}.\)

B. \(\sqrt {23} .\)

C. \(\frac{{2\sqrt {69} }}{9}.\)

D. \(\frac{{4\sqrt 3 }}{9}.\)

Lời giải:

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1; – 2;2} \right)\) và bán kính \(R = 2\).

Do \(AM\) là tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) tại \(M\) nên \(IM \bot AM\). Kẻ \(MH \bot IA\) tại \(H\) thì tiếp điểm \(M\) di chuyển trên đường tròn tâm \(H\), bán kính \(HM\).

Ta có: \(IM = 2;IA = \sqrt {{{\left( {2 – 1} \right)}^2} + {{\left( {3 + 2} \right)}^2} + {{\left( {3 – 2} \right)}^2}} = 3\sqrt 3 \).

Xét tam giác \(IMA\) vuông tại \(M\), đường cao \(MH\):

\(M{A^2} = I{A^2} – I{M^2} = {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} – {2^2} = 23\).

\(\frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{1}{{M{I^2}}} + \frac{1}{{M{A^2}}} = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{23}} = \frac{{27}}{{92}} \Rightarrow MH = \frac{{2\sqrt {69} }}{9}\)

Vậy \(M\) thuộc đường tròn bán kính \(\frac{{2\sqrt {69} }}{9}\).