Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {0\,;\, – 1\,;\,2} \right)\), \(B\left( {2\,;\,1\,;\,1} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\), cắt \(d\) và cách điểm \(B\) một khoảng nhỏ nhất là

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {0\,;\, – 1\,;\,2} \right)\), \(B\left( {2\,;\,1\,;\,1} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 2}}{{ – 1}}\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\), cắt \(d\) và cách điểm \(B\) một khoảng nhỏ nhất là

A. \(\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 2}}{3}\).
B. \(\frac{x}{3} = \frac{{y + 1}}{{ – 3}} = \frac{{z – 2}}{2}\).
C. \(\frac{x}{3} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z – 2}}{{ – 2}}\).
D. \(\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 2}}{{ – 3}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(A\) và chứa đường thẳng \(d\). Gọi \(H\), \(K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \(B\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) và trên đường thẳng \(\Delta \). Do \(\Delta \) đi qua \(A\) cắt \(d\) nên \(\Delta \subset \left( P \right)\).
Ta có \(d\left( {B,\Delta } \right) = BK \ge BH\). Do đó \(d\left( {B,\Delta } \right)\) nhỏ nhất khi \(K \equiv H\) hay \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A\) và \(H\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = k\overrightarrow {AH} ,\,\,\left( {k \ne 0} \right)\).
Lấy \(M\left( { – 1\,;\,0\,;\,2} \right) \in d\).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( { – 1\,;\,1\,;\,0} \right)\), \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2\,;\,1\,;\, – 1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { – 1\,;\, – 1\,;\, – 3} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { – 1\,;\, – 1\,;\, – 3} \right)\)
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \( – 1\left( {x – 0} \right) – 1\left( {y + 1} \right) – 3\left( {z – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y + 3z – 5 = 0\).
Phương trình đường thẳng \(BH:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 – t\\y = 1 – t\\z = 1 – 3t\end{array} \right. & \left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
Tọa độ điểm \(H\left( {2 – t\,;\,1 – t\,;\,1 – 3t} \right)\) ứng với tham số \(t\) thỏa mãn
\(2 – t + 1 – t + 3\left( {1 – 3t} \right) – 5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{{11}}\)\( \Rightarrow H\left( {\frac{{21}}{{11}}\,;\,\frac{{10}}{{11}}\,;\,\frac{8}{{11}}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH} \left( {\frac{{21}}{{11}}\,;\,\frac{{21}}{{11}}\,;\,\frac{{ – 14}}{{11}}} \right)\).
Chọn \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \frac{{11}}{7}\overrightarrow {AH} = \left( {3\,;\,3\,;\, – 2} \right)\).
Dễ thấy \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \), \(\overrightarrow {{u_d}} \) không cùng phương thì \(\Delta \) cắt đường thẳng \(d\).
Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là \(\frac{x}{3} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z – 2}}{{ – 2}}\).