Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {0;\; – 1;\;2} \right)\)và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{2}\), \({d_2}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 4}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{4}\). Phương trình đường thẳng đi qua \(M\), cắt cả \({d_1}\) và \({d_2}\) là

DẠNG TOÁN 45: DẠNG 45 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {0;\; – 1;\;2} \right)\)và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{2}\), \({d_2}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 4}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{4}\). Phương trình đường thẳng đi qua \(M\), cắt cả \({d_1}\) và \({d_2}\) là

A. \(\frac{x}{9} = \frac{{y + 1}}{{ – 9}} = \frac{{z + 2}}{{16}}\).
B. \(\frac{x}{3} = \frac{{y + 1}}{{ – 3}} = \frac{{z – 2}}{4}\).
C. \(\frac{x}{9} = \frac{{y + 1}}{{ – 9}} = \frac{{z – 2}}{{16}}\).
D. \(\frac{x}{{ – 9}} = \frac{{y + 1}}{9} = \frac{{z – 2}}{{16}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT
+ Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm.
+ \(\Delta \cap {d_1} = A\left( {{t_1} + 1;\; – {t_1} – 2;\;2{t_1} + 3} \right)\); \(\Delta \cap {d_2} = B\left( {2{t_2} – 1;\; – {t_2} + 4;\;4{t_2} + 2} \right)\).
+ Ta có:\(\overrightarrow {MA} = \left( {{t_1} + 1;\; – {t_1} – 1;\;2{t_1} + 1} \right)\); \(\overrightarrow {MB} = \left( {2{t_2} – 1;\; – {t_2} + 5;\;4{t_2}} \right)\).
+ \(M,\)\(A,\)\(B\) thẳng hàng\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} + 1 = k\left( {2{t_2} – 1} \right)\\ – {t_1} – 1 = k\left( { – {t_2} + 5} \right)\\2{t_1} + 1 = 4k{t_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = \frac{7}{2}\\k = – \frac{1}{2}\\k{t_2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = \frac{7}{2}\\{t_2} = – 4\end{array} \right.\).
+ Ta được \(\overrightarrow {MB} = \left( { – 9;\;9;\; – 16} \right)\).
+ Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( {0; – 1;2} \right)\), một VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {9;\; – 9;\;16} \right)\) có phương trình là
\(\frac{x}{9} = \frac{{y + 1}}{{ – 9}} = \frac{{z – 2}}{{16}}\).