Trong các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {z + i\overline z – 4} \right)\) là số thuần ảo. Số phức \(z\) có môđun nhỏ nhất là

Trong các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {z + i\overline z – 4} \right)\) là số thuần ảo. Số phức \(z\) có môđun nhỏ nhất là

A. \(z = 2 + 2i\).

B. \(z = – 1 + i\).

C. \(z = – 2 + 2i\).

D. \(z = 3 + 2i\).

Lời giải:

Gọi \(z = a + bi\) (\(a\), \(b \in \mathbb{R}\)). Khi đó \(z + i\overline z – 4 = a + bi + i\left( {a – bi} \right) – 4 = a + b – 4 + \left( {a + b} \right)i\).

Vì \(\left( {z + i\overline z – 4} \right)\) là số thuần ảo nên \(a + b – 4 = 0 \Leftrightarrow b = 4 – a\).

Khi đó: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {4 – a} \right)}^2}} = \sqrt {2{a^2} – 8a + 16} = \sqrt {2{{\left( {a – 2} \right)}^2} + 8} \ge 2\sqrt 2 \).

Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\end{array} \right.\).

Vậy \(z = 2 + 2i\).

=========== Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Số phức.