Câu hỏi:
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} + 2\left( {m – 1} \right)z + {m^2} = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị \(m\)dương để phương trình đó có nghiệm \({z_0}\) thỏa mãn \(\left| {{z_0}} \right| = 4?\)
A. \(1\).
B. \(2\).
C. \(3\).
D. \(4\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có: \(\Delta ‘ = {\left( {m – 1} \right)^2} – {m^2} = – 2m + 1\).
TH1: Nếu \(\Delta ‘ \ge 0\)\( \Leftrightarrow – 2m + 1 \ge 0\)\( \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}\) thì phương trình có hai nghiệm thực:
Từ giả thiết: \(\left| {{z_0}} \right| = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 4\\{z_0} = – 4\end{array} \right.\)
*Với \({z_0} = 4\)thay vào phương trình ta có: \({4^2} + 2\left( {m – 1} \right).4 + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 8m + 8 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 4 + 2\sqrt 2 \\m = – 4 – 2\sqrt 2 \end{array} \right.\).
*Với \({z_0} = – 4\)thay vào phương trình ta có: \({\left( { – 4} \right)^2} + 2\left( {m – 1} \right).\left( { – 4} \right) + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} – 8m + 24 = 0\)
TH2: Nếu \(\Delta ‘ < 0\)\( \Leftrightarrow – 2m + 1 < 0\)\( \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}\) thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phức:
\({z_0} = – \left( {m – 1} \right) + \sqrt {\left| { – 2m + 1} \right|} .i\)\( = – m + 1 + i.\sqrt {2m – 1} \)
Và \({z_0} = – m + 1 – i.\sqrt {2m – 1} \)
\(\left| {{z_0}} \right| = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( { – m + 1} \right)}^2} + 2m – 1} = 4\)\( \Leftrightarrow {m^2} – 2m + 1 + 2m – 1 = 16\)\( \Leftrightarrow {m^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 4\\m = 4\end{array} \right.\)
Chọn \(m = 4\).
=======
Trả lời