Câu hỏi:
] Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} – 2\left( {2m – 1} \right)z + 4{m^2} – 5m = 0\) (\(m\)là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để phương trình có nghiệm \({z_0}\) thoả mãn \(\left| {{z_0} + 3} \right| = 10\)?
A. \(1\).
B. \(2\).
C. \(4\). \(\)
D. \(3\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Cách 1: Ta có \(\Delta ‘ = m + 1\).
Trường hợp 1: \(m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge – 1\).
Khi đó theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm thực \({z_0}\) thoả mãn \(\left| {{z_0} + 3} \right| = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 7\\{z_0} = – 13\end{array} \right.\).
Từ đó suy ra \(\left[ \begin{array}{l}{7^2} – 2\left( {2m – 1} \right)7 + 4{m^2} – 5m = 0\\{\left( { – 13} \right)^2} – 2\left( {2m – 1} \right)\left( { – 13} \right) + 4{m^2} – 5m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4{m^2} – 33m + 63 = 0\\4{m^2} – 47m + 143 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3{\rm{ }}\left( {tm} \right)\\m = \frac{{21}}{4}{\rm{ }}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).
Trường hợp 2: \(m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < – 1\).
Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức là \({z_0}\) và \({\bar z_0}\) và thoả mãn \(\left| {{z_0} + 3} \right| = 10\)
\( \Leftrightarrow \left( {{z_0} + 3} \right)\left( {{{\bar z}_0} + 3} \right) = 100 \Leftrightarrow {\left| {{z_0}} \right|^2} + 3\left( {{z_0} + {{\bar z}_0}} \right) + 9 = 100 \Leftrightarrow 4{m^2} – 5m + 3.2\left( {2m – 1} \right) – 91 = 0\)
\( \Leftrightarrow 4{m^2} + 7m – 97 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – \frac{{7 + \sqrt {1601} }}{8}{\rm{ }}\left( {tm} \right)\\m = – \frac{{7 – \sqrt {1601} }}{8}{\rm{ }}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).
Vậy có 3 giá trị của tham số \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2: Ta có \({z^2} – 2\left( {2m – 1} \right)z + 4{m^2} – 5m = 0 \Leftrightarrow {\left( {z – 2m + 1} \right)^2} = m + 1{\rm{ }}\left( 1 \right)\).
Trường hợp 1: \(m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge – 1\).
Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2m – 1 + \sqrt {m + 1} \\z = 2m – 1 – \sqrt {m + 1} \end{array} \right.\).
Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm \({z_0}\) thoả mãn \(\left| {{z_0} + 3} \right| = 10\).
Do đó \(\left[ \begin{array}{l}\left| {2m + 2 + \sqrt {m + 1} } \right| = 10\\\left| {2m + 2 – \sqrt {m + 1} } \right| = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3{\rm{ }}\left( {tm} \right)\\m = \frac{{21}}{4}{\rm{ }}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).
Trường hợp 2: \(m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < – 1\)
Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 2m – 1 + i\sqrt {\left| {m + 1} \right|} \\z = 2m – 1 – i\sqrt {\left| {m + 1} \right|} \end{array} \right.\).
Theo bài ra, phương trình đã cho có nghiệm \({z_0}\) thoả mãn \(\left| {{z_0} + 3} \right| = 10\).
Do đó \(\left| {2m + 2 + i\sqrt {\left| {m + 1} \right|} } \right| = 10 \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 4 – m – 1 = 100 \Leftrightarrow 4{m^2} + 7m – 97 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – \frac{{7 + \sqrt {1601} }}{8}{\rm{ }}\left( {tm} \right)\\m = – \frac{{7 – \sqrt {1601} }}{8}{\rm{ }}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).
Vậy có 3 giá trị của tham số \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán.
=======
Trả lời